da solaàl » 25/01/2020, 15:55
Sì; Martino, hai ragione, pensavo dovesse dimostrare la versione più forte. Non ho letto la tua risposta, se riesco a farlo da me e arrivo alla stessa soluzione te lo dico.
Dissonance, se \(\mathcal{A}\) è una categoria con un oggetto zero, un oggetto \(A\in\mathcal A\) si dice semplice se 1. non è lui stesso zero e 2. Non ha quozienti non banali. Esempi: un gruppo semplice, una rappresentazione lineare irriducibile di un gruppo, uno spazio vettoriale di dimensione 1, un insieme con due elementi, negli insiemi puntati finiti...
In effetti, spesso (quasi sempre), la definizione di semplice è equivalente al non avere sotto-oggetti non banali.
Quando \(\mathcal A\) ha somme dirette, un oggetto è semisemplice se è coprodotto di semplici; ciò significa che per ogni \(X\in \mathcal A\) esiste una famiglia di oggetti semplici \(A_i, i\in I\) tale che \(X\cong \sum_{i\in I}A_i\).
Per un'algebra di Lie \(\mathfrak g\) va chiesto (credo per motivi tecnici) che \(\mathfrak g\) non sia abeliana, oltre a che non abbia ideali (un ideale in un'algebra è precisamente una sottostruttura) non banali.
Ora: \(\mathfrak{sl}(2)\) è semisemplice, e coincide con lo spazio delle matrici \(2\times 2\) a traccia nulla. La prima cosa implica che \([\mathfrak{sl}(2),\mathfrak{sl}(2)] = \mathfrak{sl}(2)\), e quindi ogni matrice a traccia nulla è il commutatore di qualcuno (di matrici che si possono scegliere a traccia nulla).
"In verità le cose che nella vita sono tenute in gran conto si riducono a vanità, o putredine di nessun valore; botoli che si addentano, bambocci litigiosi che ora ridono, poi tosto piangono." (Lotario conte di Segni)