Esercizio piani infiniti

[ilsaggio]

Ciao a tutti devo fare questo esercizio:
Due piani isolanti parallali e infiniti P1 e P2 sono disposti parallelamente nel vuoto e sono carichi con densità di carica superficiale $σ1= 10^(-7) C/m^2$ e $σ2= – 5 × 10^(-8) C/m^2$, rispettivamente. Calcolare la forza per unità di superficie agente sul piano P2 (in modulo e verso).

figura

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Io ho calcolato i campi elettrici nella zona 1,2,3.
Poi dovrei calcolare la pressione elettrostatica, ma ho questa soluzione che non capisco:
$ p=-1/2*epsilon_0*E_2^2+1/2*epsilon_0*E_3^2 $
Perché considera anche il campo nella zona 3. Qualcuno riuscirebbe ad aiutarmi?

[mgrau]

Perchè il campo $E_3$ non dovrebbe contare? Mi sembra che abbia lo stesso ruolo di $E_2$, ai fini della forza su $P_2$. Anche se, in effetti, non capisco bene come si arrivi a quella soluzione...

[ilsaggio]

Allora la forza è data da $ F=1/2*E^2*epsilon_0*A$ e la pressione sarà quindi $ p=F/A=1/2*E^2*epsilon_0 $, quindi abbiamo una componente della forza che va a sinistra, ossia quella del campo $ E_2$, ma non capisco perchè la componente data dal campo $E_3$ venga considerata verso destra.

[mgrau]

Allora la forza è data da $ F=1/2*E^2*epsilon_0*A$

E qui come ci si arriva? La forza è $EQ = Esigma_2A$ e la pressione $Esigma_2$. E poi?

[ilsaggio]

Allora il campo elettrico generato da un piano infinito è $ E=sigma/(2epsilon_0) $ e la carica infinitesima sul piano sarà $dq=sigmads$.
La forza infinitesima esercitata è $dF=Edq=sigma/(2epsilon_0)*sigmads=sigma^2/(2epsilon_0)ds$
integrando dF su tutta l'area si ottiene $F=sigma^2/(2epsilon_0)*A$
Ora con alcuni passaggi si può arrivare alla formula che ti ho scritto prima:
$F=sigma^2/(2epsilon_0)*epsilon_0/epsilon_0*A=sigma^2/(2epsilon_0^2)*epsilon_0*A$
dove
$sigma^2/(epsilon_0^2)=E^2$, perciò otteniamo infine
$F=1/2*E^2*epsilon_0*A$

[mgrau]

Ma queste formule si applicano quando hai due piani con la stessa densità di carica; infatti anche tu non distingui $sigma_1$ e $sigma_2$. E in questo caso siamo d'accordo. Ma quando sono diverse, cosa succede?

[ilsaggio]

In effetti hai ragione... sinceramente non lo so, speriamo che qualcuno venga in aiuto

[mgrau]

Intanto, io distinguerei i due casi di piani conduttori o isolanti.
Con piani conduttori $p_2$ si potrebbe considerare formato da due facce, una rivolta verso $p_1$, con densità $sigma_1$ e l'altra opposta con densità $sigma_1 - sigma_2$, e poi fare i conti separatamente sulle due facce.
Con piani isolanti, penserei di eliminare la discontinuità di $E$ immaginando uno spessore $d$ del piano, quindi con carica volumetrica $lambda = sigma_2/d$, poi trovare la forza su ogni strato e infine integrare su $d$.
Può darsi benissimo che alla fine tutto confluisca nella formula della tua soluzione, ma non mi sembra ovvio