Risoluzione di uno studio di funzione

[TCecco]

Salve a tutti questo è il mio promo post e volevo chiedervi come si può fare uno studio di funzione della seguente equazione: $3/2*(x+1)+ln(x^2-x)$.
il mo problema è lo studio del segno dato che non riesco ad isolare la $x$ come posso procedere?

[gugo82]

Non ci puoi far nulla.

Fai a meno di questa informazione (per ora) e vai avanti.
Può darsi che riesci a recuperare qualcosa in merito al segno della funzione più avanti (ad esempio, dallo studio della monotonia).

[TCecco]

Non ci puoi far nulla.

Fai a meno di questa informazione (per ora) e vai avanti.
Può darsi che riesci a recuperare qualcosa in merito al segno della funzione più avanti (ad esempio, dallo studio della monotonia).

Grazie ho trovato molto utile il consiglio di utilizzare la monotonia per aver un'idea del segno.
Tuttavia come posso trovare le intersezioni con l'asse delle x?

facendo la derivata ottengo: $3/2 + (2x-1)/(x^2-x)$
e attraverso lo studio del segno trovo che in $x=-1$ ci sia un punto di massimo e che per $x>1$ la funzione sia crescente però senza sapere le radici dell'equazione non ho abbastanza precisione per disegnare il grafico.
come posso fare a trovarle?

[Bokonon]

come posso fare a trovarle?

Ad esempio col metodo di Newton https://it.wikipedia.org/wiki/Metodo_delle_tangenti
Ma non credo proprio che chiedessero di trovarle (è sufficiente un grafico qualitativo).

Le cose che chiedono in questo tipo di esercizi sono:
- trovare il dominio
- i 4 limiti a $+-oo$, $0^(-)$ e $1^+$
- derivata prima e seconda
-minimi/massimi

[gugo82]

Lo studio del segno della derivata ti dice che la funzione è strettamente crescente in $]-oo,-1]$ ed in $]1,+oo[$, e strettamente decrescente in $[-1,0[$.
Visto che $f(-1)=log 2 >0$, $lim_(x-> -oo) f(x) = -oo = lim_(x->0^(-)) f(x)$, esistono due unici $xi_1<-1<xi_2<0$ tali che $f(x)>=0$ per $x in [xi_1,xi_2]$ e $f(x)<=0$ per $x in ]-oo,xi_1] uu[xi_2,0[$; analogamente, visto che $lim_(x->1^+) f(x) = -oo$ e $lim_(x -> +oo) f(x) = +oo$, esiste un unico $xi_3 >1$ tale che $f(x) >=0$ in $[xi_3,+oo[$ e $f(x)<=0$ per $x in ]1,xi_3]$.

I punti $xi_i$ non si possono calcolare esplicitamente in termini di funzioni note.
Tuttavia, puoi ragionevolmente approssimarli "a occhio", dando almeno un intervallo di confidenza in cui essi si trovano. Visto che $f(-3)<0<f(-2)$ hai $-3<xi_1<-2$; il punto $xi_2$ è già gratis tra $-1$ e $0$; infine, dato che $f(1^+)<0<f(2)$, hai $1<xi_3<2$. Tanto ti basta per disegnare un grafico decente.

Se poi proprio vuoi fare le cose precise, un software di calcolo ti fornisce $x_1~~-2.4$, $x_2~~-0.26$ e $xi_3~~1.04$.

[Bokonon]

Giusto per scrivere, la derivata seconda è $f''(x)=1/x^2-1/(x-1)^2$ quindi $<0$ in tutto il dominio e la funzione ha sempre concavità negativa.

[TCecco]

grazie mille a tutti