Rette ortogonali nello spazio

[Daken97]

Scusate, c'è una cosa che mi sta mandando ai matti... supponiamo che ci sia un punto p=(-1,-2,7) e una retta r con equazione parametrica: {x=2+5t; y=t; z=-2+t

Teoricamente, essendo p un punto esterno ad r, dovrebbe esserci una sola retta passante per p e ortogonale ad r. Come mai io invece ne riesco a trovare più di una? Ad esempio:

r':{x=(-1/7)*t; y=(-2/7)* t; z=t
r'':{x=-1+t; y=-2-5t; z=7

Sono due rette distinte fra loro, ma entrambe sono perpendicolari ad r. Infatti la direzione di r' è (-1/7, -2/7, 1), mentre la direzione di r'' è (1,-5,0). Se vado ad eseguire i prodotti scalari, ottengo:

(5,1,1)*(-1/7, -2/7, 1)=0
(5,1,1)*(1,-5,0)=0

Quindi entrambe le rette (che sono distinte fra loro), sono ortogonali ad r. Come mai?

[Daken97]

Sei sicuro che $r'$ passi per $p$?

Sì, perché se assumo che t=7, ottengo proprio il punto (-1,-2, 7).

[Daken97]

Sì, perché se assumo che t=7, ottengo proprio il punto (-1,-2, 7).

Se usi $t=7$ ottieni tutte le rette che passano per $(-1,-2,7)$, anche $r''$ (per il suo $t=0$).
Insomma: una retta non è solo il suo vettore direttore. Hai definito $r''$ correttamente, nella forma $r''=P_2+tv_2$, mentre per $r'$ hai scritto solo $tv_1$. Prova invece con:
$r'=((-1),(-2),(7))+t((-1/7),(-2/7),(1))$
$r''=((-1),(-2),(7))+t((1),(-5),(0))$
Devi poi di ricordare che sul piano due rette possono essere solo parallele (eventualmente coincidenti) o incidenti, ma nello spazio - e qui siamo in $RR^3$ - possono essere anche sghembe.
Questo vuol dire che possono sembrare ortogonali, o comunque incidenti, ma non esserlo perché in realtà "vanno ognuna per conto suo". Per essere ortogonali devono essere complanari e lo sono solo se $v_1$, $v_2$ e $P2-P1$ sono linearmente dipendenti.

Sul mio libro (e non solo) c'è scritto che nello spazio anche 2 rette sghembe possono essere ortogonali fra loro. In particolare, se due rette perpendicolari giaciono sullo stesso piano, sono incidenti e formano 4 angoli retti. Altrimenti, appartengono a piani distinti, fra loro ortogonali.

Per il resto, non capisco per quale ragione non sia possibile considerare r' una retta passante per p (t=7 l'ho assunto per dimostrare che ci passa) e ortogonale ad r, visto che rispetta tutte le condizioni richieste.

[Daken97]

Sul mio libro (e non solo) c'è scritto che nello spazio anche 2 rette sghembe possono essere ortogonali fra loro. In particolare, se due rette perpendicolari giaciono sullo stesso piano, sono incidenti e formano un angolo retto. Altrimenti, appartengono a piani distinti, fra loro ortogonali.

Ho capito, ma se intendi ortogonali in questo senso sono infinite! Non c'è da meravigliarsi se ne trovi due.
Immagina la retta e il punto dati. Tracci dal punto una retta $r'$ ortogonale e incidente alla retta data. Poi cominci a ruotare questa retta restando su un piano ortogonale alla retta data. Ottieni infinite rette ortogonali (non incidenti, ok) alla retta data. Ne hai trovate due: una goccia nel mare.
PS: Una retta appartiene a infiniti piani.

Per il resto, non capisco per quale ragione non è possibile considerare r' una retta passante per p e ortogonale ad r, visto che rispetta tutte le condizioni richieste.

Si può fare se intendi che $r'$ passi per l'origine, $r'=(0,0,0)+t(-1/7,-2/7,1)$.
Ma normalmente, che io sappia, l'equazione parametrica della retta è sempre della forma $P+tv$. Altrimenti è un vettore, non una retta.

Perfetto, abbiamo chiarito. L'equivoco era dovuto al fatto che il teorema di cui ero venuto a conoscenza, evidentemente considerava due rette ortogonali necessariamente incidenti.

Riguardo invece al discorso dell'equazione parametrica, che io ne sappia, nulla vieta di assumere P=(0,0,0) (insomma, l'origine), naturalmente partendo dal presupposto che quel punto appartenga alla retta in questione.

[Bokonon]

Teoricamente, essendo p un punto esterno ad r, dovrebbe esserci una sola retta passante per p e ortogonale ad r.

Quella incidente è unica, ovvero la retta:
$ s:{ ( 46x-41y=36 ),( 251x+41z=36 ):} $
E si intersecano nel punto $I=(14/27,-8/27,-62/27)$

Per quanto riguarda le tue soluzioni....sono entrambe sghembe.

[Daken97]

Teoricamente, essendo p un punto esterno ad r, dovrebbe esserci una sola retta passante per p e ortogonale ad r.

Quella incidente è unica, ovvero la retta:
$ s:{ ( 46x-41y=36 ),( 251x+41z=36 ):} $
E si intersecano nel punto $I=(14/27,-8/27,-62/27)$

Per quanto riguarda le tue soluzioni....sono entrambe sghembe.

Quindi torna tutto. L'equivoco sussiteva nel fatto che quel teorema è valido solo per le rette ortogonali incidenti, e non in generale.