Ok, non era quello lo scopo. Non dovevi usare Laplace, ma notare che se inverti la seconda e terza colonna avevi una matrice diagonale: quindi il determinante è il prodotto degli elementi sulla diagonale $abcd$.
Ma visto che la matrice che ci interessa differisce per uno scambio di righe, allora $det(A)=-abcd$
(hai sbagliato anche usando Laplace
).
Hai fatto i prodotti e non hai notato nulla. I vettori risultanti non sono altro che $ a( ( a ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) $ e $ d( ( 0 ),( 0 ),( 0 ),( d ) ) $. Tradotto quelle due colonne sono due autovettori il cui autovalore è proprio l'elemento non nullo. Riflettici e memorizzalo perchè, come vedi, la regola
e) ti da una marea di informazioni.
Quindi (una volta che ti sarai esercitato) senza manco scrivere nulla sul foglio sai già 2 autovalori (e pure due autovettori) e il determinante della matrice. Ok?
Applicando la regola
b) sappiamo che $lambda_1+lambda_2+lambda_3+lambda_4=Tr(A)=a+d$
Applicando la regola
c) sappiamo che $lambda_1lambda_2lambda_3lambda_4=det(A)=-abcd$
Conosciamo anche due autovalori, ovvero $lambda_1=a$ e $lambda_2=d$.
Mettendo insieme le info avremo che $lambda_3+lambda_4=0$ e $lambda_3lambda_4=-bc$
Ora, poichè $lambda_3=-lambda_4$ sappiamo già che ci sono 4 autovalori diversi (per a,b,c,d diversi) e quindi è diagonalizzabile. Però se uno volesse trovare gli ultimi due autovalori dovrebbe solo risolvere il sistema.
Nota che se avessimo trovato ad occhio un solo autovettore/autovalore, il sistema a tre variabili non ci avrebbe aiutato granchè.
Comunque, con uno sguardo, sarai in grado di dire che la matrice A è diagonalizzabile perchè ha 4 autovalori distinti.
Riesci a capire adesso cosa ti sto insegnando?