Variabile aleatoria discreta.

[3m0o]

Sia \( (\Omega,\mathcal{F},P)\) uno spazio di probabilità, una variabile aleatoria mi viene definita come una funzione \( X : \Omega \to \mathbb{R} \) tale che \( \forall x \in \mathbb{R} \) \( \{ X \leq x \} = \{ \omega \in \Omega : X(\omega) \leq x \} \in \mathcal{F} \).
Sia \(F \) la funzione di ripartizione di \(X \), abbiamo che \(X \) e \(D_F:= \{ x \in \mathbb{R} : F(x)- F(x-)>0 \} \) i punti di discontinuità di \(F \). La definizione che mi hanno dato di variabile aleatoria discreta è se \( P\{X \in D_F \} =1 \).
Non capisco appieno cosa voglia dire \( P\{X \in D_F \} =1 \)
Facciamo un esempio semplice. Il lancio di un dado, abbiamo che \( \Omega = \{1,\ldots,6\} \) e \( \mathcal{F}=\mathcal{P}(\Omega)\).
Ora la variabile aleatoria \(X \) rappresenta il valore uscito dopo il lancio pertanto \( \{ X \leq x \} = \{ 1,\ldots, \left \lfloor x\right \rfloor \} \) se \( 1 \leq x \leq 6 \), \( \{ X \leq x \} = \Omega \) se \(x > 6 \) e \( \{X \leq x \} = \emptyset \) se \(x < 1 \).
Abbiamo dunque che la funzione di ripartizione è data da \( F(x) = P\{X \leq x \} \) e pertanto può assumere \( F(x) \in \{0,1/6,2/6,\ldots 1 \} \)
E i punti di discontinuità della funzione di riparizione sono \( \omega \in \Omega \). Quindi in questo caso \(D_F = \Omega \).
Dire \( \{ X \in D_F \} \) è come dire \( \{ X \leq 6 \} \) oppure \( \{ X =1 \vee X=2 \vee \ldots \vee X=6 \} \) ?
Il fatto è che \( X \) prende valori nella sigma algebra di \( \Omega \), definita come l'insieme delle parti e non capisco come possa appartenere a \( D_F \).

[ghira]

Non capisco appieno cosa voglia dire \( P\{X \in D_F \} =1 \)

Che con probabilità 1, $X$ ha il valore di uno dei punti di discontinuità di $F$. Questo non succede se la variabile è continua, singolare, o una combinazione dei tre tipi di base.

[3m0o]

Sì, ho capito cosa dice, ma il mio problema è che quando lo leggo invece di dire "ah sì chiaro è intuitivo" mi dico "mmmh vedo intuitivamente il motivo, insomma è discreto, ma... perché?" E non riesco a spiegarmi perché la \(X \) ha valore uguale ad uno dei punti di discontinuità con probabilità 1 in modo soddisfacente.

[ghira]

Se la distribuzione è continua, singolare, o un misto di discreta/continua/singolare invece di essere puramente discreta, come cambia la situazione?