Autospazi ortogonali

[LoreT314]

Domanda rapida. Ho $A$ matrice simmetrica. Gli autospazi relativi a quella matrice sono ortogonali rispetto a quale prodotto scalare? Quello standard, quello definito da A, ogni prodotto scalare definito positivo?. Abbiamo fatto in classe molto di fretta questa parte e ho un po di dubbi...

[LoreT314]

Nessuno mi sa aiutare?

[solaàl]

Se guardi la dimostrazione che gli autospazi di due autovalori distinti sono ortogonali hai la risposta!

[LoreT314]

Scusate per il ritardo nella risposta ma avevo l'esame di analisi (che non è andato nemmeno bene tra l'altro...).
Ok grazie mille. Il dubbio nasceva pero da questo fatto. Un esercizio svolto condiviso dal mio professore recita cosi
Sia $ A=( ( 1 , 2 ),( 2 , 1 ) ) $ una matrice simmetrica e un prodotto scalare $φ(X, Y ) = X^t*A*Y$
Determinare una base di $RR^2$ ortogonale rispetto a $φ$
E la risoluzione cosa fa. Cerca gli autovalori di A, trova gli autospazi, le due loro basi, mette in fila i vettori delle rispettive basi e tac ho la base ortogonale rispetto a $φ$. Ed in effetti lo sono.

Se guardi la dimostrazione che gli autospazi di due autovalori distinti sono ortogonali hai la risposta!

La dimostrazione che ho io è questa
Siano $a,b$ due autovalore distinti di A, $v,w$ rispettivi autovettori.
$<Av,w>. =<av,w>. =a<v,w>$
Inoltre
$<Av,w>.=$ (e qua mi pare si usi che è il prodotto scalare euclideo) $=(Av)^t*w=v^t*A^t*w=<v,A^tw>.=<v,Aw>.=<v,bw>.=b<v,w>$
Sottraendo membro a membro
$(a-b)<v,w>.=0 rArr <v,w>.=0$ (non guardate i punti dopo il >, mi sono incasinato con le formule )
Però allora non capisco da dove esce la risoluzione di quell'esercizio...

[Bokonon]

Non è chiaro il tuo dubbio, pertanto è meglio procedere spezzando i concetti.
Matrice simmetrica = sempre diagonalizzabile anche in campo reale + autospazi perpendicolari.
Il risultato si ottiene partendo dalla base canonica ma qualsiasi altra base ortonormale sarebbe indistinguibile da essa.

Una forma bilineare simmetrica ha associata sempre una matrice simmetrica. In genere si definisce prodotto scalare una forma bilineare simmetrica definita positiva ma immagino il tuo prof. usi il termine in senso esteso visto l'esempio.

A infatti è indefinita e $A=QLambdaQ^T$ dove $ Q=( ( -1/sqrt(2) , 1/sqrt(2) ),( 1/sqrt(2) , 1/sqrt(2) ) ) $ e $ Lambda=( ( -1 , 0 ),( 0 , 3 ) )$

$Phi(x,y)=x^TAy$ rispetto alla base canonica (implicitamente si assume sempre quella di partenza)
Poichè $x^TAy=x^TQLambdaQ^Ty=(Q^Tx)^TLambda(Q^Ty) rArr x_QLambday_Q$ espressi rispetto alla nuova base $Q^T$ allora $Phi(x_Q,y_Q)=x_Q^TLambday_Q$, ovvero il medesimo prodotto scalare ma rispetto alla nuova base.
Infine, forse il prof. ha fatto notare che, poichè il prodotto scalare è indefinito, allora esistono vettori isotropi.
Per la precisione tutti i vettori $(x_1, x_2)_Q$ tali che $3x_2^2-x_1^2=(sqrt(3)x_2-x_1)(sqrt(3)x_2-x_1)=0$ (tutti i vettori che stanno su quelle due rette rispetto alla base Q).

[Bokonon]

Però allora non capisco da dove esce la risoluzione di quell'esercizio...

Ti fornisco una dimostrazione più "chiara" e senza usare la notazione del prodotto scalare (che è assunto essere euclideo classico).

Prendiamo una matrice A simmetrica. Per il teorema spettrale abbiamo che è sempre possibile diagonalizzarla anche in campo reale. Per definizione un autovettore è tale $Ax=lambda_1x$ e supponiamo di conoscere anche un secondo autovettore corrispondente ad un diverso autovalore $Ay=lambda_2y$ (entrambi i vettori appartengono allo spazio $RR^n$).
Moltiplicando entrambi i membri di $Ax=lambda_1x$ per $y^T$ ottengo $y^TAx=y^Tlambda_1x=lambda_1y^Tx$ (per linearità).
Faccio la stessa operazione con la seconda equazione ma moltiplicando per $x^T$ e ottengo $ x^TAy=lambda_2x^Ty$
Ora, applico la trasposta ad entrambi i membri della prima equazione ed ottengo $x^TA^Ty=x^TA^Ty=lambda_1x^Ty$ ($A^T=A$ perchè per ipotesi è simmetrica).

Infine confronto le due equazioni:
$ { ( x^TAy=lambda_1x^Ty ),( x^TAy=lambda_2x^Ty ):} $
e diventa chiaro il perchè di queste operazioni...

Sottraendo le due equazioni abbiamo $0=(lambda_1-lambda_2)x^Ty$
L'equazione ha soluzione solo se $lambda_1-lambda_2=0$ (ma questo è impossibile perchè per ipotesi gli autovalori sono diversi) oppure se $x^Ty=0$ ovvero i due autovettori devono essere perpendicolari e siccome sono la base dei rispettivi autospazi, allora gli autospazi sono perpendicolari.

Questo ragionamento può essere ripetuto fra tutte le coppie degli $n$ autovettori.
Nel caso in cui ad un autovalore corrispondano $r$ autovettori, non è un problema sceglierne $r$ fra loro perpendicolari che siano una base di quell'autospazio.
Quindi normalizzando tutti gli autovettori trovati avremo una base ortonormale per il nostro spazio $RR^n$ che metteremo nella nostra matrice Q.

[LoreT314]

Ok quindi quello che dici è che data una matrice simmetrica (che definisce un prodotto scalare rispetto alla base canonica), essa è sempre simile a una matrice diagonale che definisce lo stesso prodotto scalare però in una base ortonormale rispetto al prodotto scalare euclideo? E la base ortonormale ha come vettori le colonne della matrice che diagonalizza. Giusto? Il discorso è che da come lui svolge l'esercizio sembra che gli autospazi siano ortogonali anche rispetto al prodotto scalare $phi$ oltre che rispetto a quello euclideo. E' vero?
Cioè io pensavo a una cose del tipo
Sia A matrice simmetrica che definisce $phi$ prodotto scalare, $a,b$ autovalori, $v,w$ rispettivi autovettori.
Indico con $<,>$ il prodotto scalare euclideo. Mi chiedo, v e w sono ortogonali, rispettto a $phi$? (che lo siano rispetto a quello euclideo siamo d'accordo)
Farei così. $phi(v,w)=v^tAw=v^tbw=bv^tw=b<v,w>$ Ma ora $<v,w>.=0$ per il discorso di prima e quindi sono effettivamente ortogonali?

[Bokonon]

Credo di aver capito la tua confuzione, per questo motivo ho spezzato i discorsi.
Una matrice simmetrica ha quelle proprietà rispetto al prodott scalare euclideo. Punto.
Che quella matrice sia un'applicazione, un cambio base, rappresenti una conica o infine una forma bilineare simmetrica, non ci frega. Quello viene dopo.
In base all'"oggetto" che stai discutendo trai conclusioni. Ma non mischiare i due discorsi.

Ora il prof. (sono quasi certo di questo ma chiedi conferma) ti ha proposto una forma bilineare simmetrica e non un "prodotto scalare" in senso stretto. Questo perchè in genere l'etichetta di prodotto scalare è riservata a forme bilineari simmetriche definite positive (o anche negative per alcuni autori).
Quindi la questione posta è del tipo "data questa forma bilineare simmetrica, analizziamola" e, se ti piace la cosa, chiamiamola prodotto scalare in senso ampio.

Il modo migliore analizzarla è cambiare la base con una rotazione degli assi canonici, in modo tale che da quella prospettiva la nostra forma bilineare diventa una matrice diagonale. Che tipo di matrice diagonale? Dipende dai segni e dai valori degli autovalori.
a ) Se almeno un autovalore è zero e gli altri sono positivi/negativi, allora abbiamo un prodotto scalare degenere.
b ) Se alcuni autovalori sono positivi ed altri negativi, allora abbiamo un prodotto scalare indefinito.
c ) Se tutti gli autovalori sono positivi/negativi, allora abbiamo un prodotto scalare vero e proprio (alcuni scartano il concetto di prodotto scalare anche se la matrice è definita negativa).
d) un misto, ancora peggio.

La matrice diagonale è il nostro "prodotto scalare". Se per esempio è la matrice identità allora è il classico prodotto scalare euclideo. In ogni caso, quella matrice definisce l'ortogonalità fra vettori. Per capire quali se due vettori sono ortogonali, si applica il prodotto. punto.

In tutte le casistiche eccetto la c) ci sono "problemi": nel senso che ci saranno vettori isotropi.

[LoreT314]

Si sulla definizione di prodotto scalare è ogni forma bilineare simmetrica (anche degenere). Ci aveva avvisato che alcuni considerano solo quelli definiti positivi. Comunque riesco a seguire il tuo discorso ma purtroppo non riesco a vedere il nesso con questa storia qua

Sia A matrice simmetrica che definisce $phi$ prodotto scalare, $a,b$ autovalori, $v,w$ rispettivi autovettori.
Indico con $<,>$ il prodotto scalare euclideo. Mi chiedo, v e w sono ortogonali, rispettto a $phi$? (che lo siano rispetto a quello euclideo siamo d'accordo)
Farei così. $phi(v,w)=v^tAw=v^tbw=bv^tw=b<v,w>$ Ma ora $<v,w>.=0$ per il discorso di prima e quindi sono effettivamente ortogonali?

[Bokonon]

Sia A matrice simmetrica che definisce $phi$ prodotto scalare, $a,b$ autovalori, $v,w$ rispettivi autovettori.
Indico con $<,>$ il prodotto scalare euclideo. Mi chiedo, v e w sono ortogonali, rispettto a $phi$? (che lo siano rispetto a quello euclideo siamo d'accordo)
Farei così. $phi(v,w)=v^tAw=v^tbw=bv^tw=b<v,w>$ Ma ora $<v,w>.=0$ per il discorso di prima e quindi sono effettivamente ortogonali?

Si, è così. Presa una base ortonormale rispetto alla base canonica, se questi vettori sono anche autovettori di un "prodotto scalare", allora saranno ortogonali anche rispetto a quel prodotto scalare.
Ciò che hai scritto è ok.

Ma vale anche per due generici vettori ortogonali (rispetto al prodotto scalare euclideo classico)?
Per esempio, prendiamo $u=(3,1)$ e $v=(-1,3)$.
Quanto fa $u^TAv=v^TAu=?$