Problema di Relatività Ristretta

[ValeForce]

Salve a tutti!
Avrei bisogno di un aiuto sul seguente problema:

Dati due sistemi di riferimento inerziali $S$ e $S'$ in moto con
velocità relativa $v$, valutare, se esiste, un piano mobile sul quale gli orologi dei
due riferimenti segnano lo stesso tempo $t = t'$ e se ne determini l’eventuale
velocità di esso sia rispetto a $S$ che rispetto a $S'$ nonché i fattori di dilatazione
in $S$ e $S'$ nei confronti del riferimento $S''$ solidale con il piano mobile. Nel
caso contrario, giustificare dettagliatamente la risposta negativa.

Sinceramente non so nemmeno da dove iniziare... qualcuno può darmi qualche spunto?
Cosa implica che i due riferimenti segnano lo stesso tempo? Istintivamente direi che la risposta al problema è negativa.

[Shackle]

I due riferimenti sono nella configurazione standard? Suppongo di sì. Allora, $x$ e $t$ si trasformano nel solito modo, mentre y=y’ e z=z’ . Insomma è un boost di Lorentz in direzione x .
Se considero la trasformazione del tempo:

$ct’ =gamma (ct -beta x)$

e al primo membro metto $t’ =t$ , alla fine ricavo per $v$ una banale identità. Quindi per me la risposta è negativa, il piano cercato non esiste.
Ma potrei non aver capito bene, aspettiamo altre risposte.

[anonymous_0b37e9]

Dati due sistemi di riferimento inerziali $S$ e $barS$ in moto con velocità relativa $v$, valutare, se esiste, un piano mobile sul quale gli orologi dei due riferimenti segnano lo stesso tempo $t=bart$ e se ne determini l’eventuale velocità di esso sia rispetto a $S$ che rispetto a $barS$ ...

Ciao Shackle. Il problema potrebbe richiedere un piano mobile nel sistema $S$ e un piano mobile nel sistema $barS$ tali che $t=bart$. In questo caso la risposta dovrebbe essere affermativa:

$[bart=\gamma(t-\beta/cx)] ^^ [bart=t] rarr [x=(c(\gamma-1))/(\beta\gamma)t] rarr [v_p=(c(\gamma-1))/(\beta\gamma)]$

$[t=\gamma(bart+\beta/cbarx)] ^^ [t=bart] rarr [barx=(c(1-\gamma))/(\beta\gamma)bart] rarr [barv_p=(c(1-\gamma))/(\beta\gamma)]$

[Shackle]

Ciao Sergeant Elias. Ho visto la tua soluzione. In sostanza, le velocità dei due riferimenti sono uguali in valore e opposte in verso rispetto al piano. Ora non ho tempo, sto scrivendo sul cellulare; stasera a casa ci guardo meglio. Mi sembra una buona idea.

[anonymous_0b37e9]

In sostanza, le velocità dei due riferimenti sono uguali in valore e opposte in verso rispetto al piano.

Non avevo interpretato la soluzione in questi termini. Per questo motivo avevo specificato un piano mobile nel sistema $S$ e un piano mobile nel sistema $barS$. Dopo averci pensato un po', condivido pienamente la tua semplificazione.

[Shackle]

Ho riflettuto sul problema, e se non ho preso fischi per fiaschi ecco che cosa ho pensato. Innanzitutto ho fatto lo schizzo allegato :

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Pongo c =1, cosi me la tolgo dai piedi. Abbiamo un rif in. $S(t,x)$ , e un rif in $S’(t’,x’)$ in moto relativo a S con velocita $v$ (suppongo verso destra). Tempo e spazio sono misurati entrambi in metri. Le TL dirette da S ad S’ sono (v. 1º schizzo) :

$t’ = gamma(v)(t-vx)$
$x’ = gamma (v) ( x-vt) $

da cui si ricavano le inverse , scritte sul foglio. Ho messo anche un secondo schizzo, dove ho segnato gli assi temporali dei tre riferimenti , assumendo il punto di vista di S”; quindi gli altri due assi sono uno a destra e uno a sinistra, con lo stesso angolo $alpha = tg^-1 u $. Vuol dire che S si allontana verso Sn con velocità di modulo $u$ rispetto a S” , e S’ si allontana da S” verso Ds, con velocità di uguale modulo.

Infatti, la sola possibilità per cui esista un riferimento $S” (t”,x”)$ rispetto al quale i tempi $t$ di S e $t’$ di S’ siano uguali è che i sistemi S ed S’ siano diretti da parti opposte rispetto ad S”, con velocità opposte in direzione e uguali in modulo; in questo modo, il rallentamento degli orologi di S e S’ , in moto rispetto a quello di S”, è lo stesso.

Allora , le TL da S” ad S’ sono:

$t’ = gamma(u)(t”-ux'')$
$x’ = gamma (u) ( x”-ut'') $

e le TL da S” ad S , che è diretto in verso opposto ma sempre con la stessa velocità $u$ in modulo , sono :

$t = gamma(u)(t”+ux'')$
$x = gamma (u) ( x”+ut'') $

Deve essere, come richiesto dal problema : $t=t’$; uguagliando la prima e la terza delle 4 relazioni sopra scritte si ottiene x” = 0 , come è ovvio: solo il piano spaziale x”= 0, che contiene gli altri due assi y” e z” (coordinate che non variano) gode della proprietà imposta :$t=t’$.

Inoltre, guardando il primo schizzo, si ha che la velocità $v$ si deve scrivere con la composizione relativistica delle due velocità $u$ :

$v = (u+u)/(1 + u^2/c^2) = (2u)/(1 + u^2/c^2)$ , da cui si ricava $u = 1/v (gamma(v)-1)/(\gamma(v))$, essendo nota la $v$. Qui è sempre $c=1$ .

Aspetto un commento da S. Elias, se ne ha voglia, e anche una risposta da Valeforce.

[anonymous_0b37e9]

Aspetto un commento da ...

Nulla da eccepire. Tra l'altro, mi sembra che tu abbia ottenuto:

$[v_p=(c(\gamma-1))/(\beta\gamma)] ^^ [barv_p=(c(1-\gamma))/(\beta\gamma)]$

per altra via, confermando la liceità della tua interpretazione più intuitiva:

In sostanza, le velocità dei due riferimenti sono uguali in valore e opposte in verso rispetto al piano.

Insomma, ottimo lavoro.

[ValeForce]

Ciao Shackle e Seargent Elias, grazie per le risposte.
Ho letto più volte e credo di aver capito, sei stato chiarissimo. L'unica cosa però su cui ho ancora dubbi è perché la velocità $v$, quella tra $S$ ed $S'$, si compone relativisticamente in quel modo con $u$, cioè quella tra $S''$ e $S$ oppure $S''$ e $S'$...

[Shackle]

Se guardi il primo schizzo, ti rendi conto che la velocità v di S’ rispetto ad S è uguale alla composizione della velocità di S’ rispetto a S” , che sta in mezzo, con la velocità di S” rispetto a S. Devi eseguire questa composizione con la formula relativistica, non quella galileiana.
Per fare un esempio: se fosse u = 0.6c = 0.6 (c=1) , non potresti dire che v = 2u = 1.2 , sarebbe maggiore di c !

La somma relativistica dà : $v = (1.2)/(1.36)$ minore di 1 , come deve essere, chiaro?

[ValeForce]

OK adesso ho capito. Grazie per la pazienza