Penso di non aver capito bene il significato di probabilità condizionata: il mio dubbio nasce da questo esercizio
Si lanciano in maniera indipendente due dadi equilibrati a sei facce. Sapendo che uno di essi ha dato 3, qual è la probabilità che la somma dei due sia maggiore di 7?
Ragionando intuitivamente mi sono detto: se un dado fa tre, le uniche possibilità per ottenere almeno 8 come somma sono che l'altro dado faccia 5 oppure 6, perciò ho 2 casi favorevoli su 3 casi possibili e la soluzione è \(\displaystyle \frac {2}{6} = \frac{1}{3} \).
Poi ho tirato fuori la definizione di probabilità condizionata per vedere se il ragionamento fosse giusto:
\(\displaystyle P(S>7|D=3) = \frac{P(S>7 \cap D = 3)}{P(D=3)} \)
che con la formula di Bayes diventa
\(\displaystyle \frac{P(S>7)P(D=3|S>7)}{P(S>7)P(D=3|S>7)+P(S\leq 7)P(D=3|S\leq 7)}\)
(con D ho indicato "uno dei due dadi")
Ho costruito una tabella che rappresenta lo spazio campionario
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
---|---|---|---|---|---|---|
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
Dalla tabella vedo che il numeratore è pari a \(\displaystyle \frac{15}{36} \times \frac{4}{15} \) mentre il denominatore \(\displaystyle \frac{15}{36} \times \frac{4}{15} \times \frac{21}{36} \times \frac{7}{21}\), per un risultato finale di \(\displaystyle \frac{4}{11} \).
Il problema, a quanto vedo, è che all'inizio ho considerato uno spazio campionario che equivale alla sola colonna '3' della tabella, mentre applicando la teoria ho considerato l'intersezione della riga '3' e della colonna '3', quindi lo spazio campionario mi si "riduce di uno". Tuttavia, non riesco a capire come il significato della probabilità condizionata possa essere quello! In teoria, la conoscenza del risultato di un dado mi riduce l'incertezza al solo dado di cui non conosco il risultato!
Il professore mi ha fatto notare la differenza tra "ho sotto gli occhi un dado che ha fatto 3" e "so che uno dei due dadi (ma non so quale!) ha fatto 3", ma continuo a non afferrare bene in che modo ciò cambia la soluzione (mi ricorda in qualche modo il paradosso dei due bambini...).
Mi sto perdendo in un bicchier d'acqua? Grazie a chi risponderà e buona giornata