problema sottospazio

Messaggioda E-C » 15/02/2020, 11:45

ciao a tutti! ho un problema con il punto c) di questo esercizio, vi lascio i risultati del a) e b) che quelli riesco a calcolarli, vi chiedo se mi potete spiegare il punto c) . grazie mille!!! :D :smt023

Si consideri il sottospazio W di R4 definito da:

W=[ (x,y,z,t) ∈R^4|x−y+z−t=2x−y−3t=0 ].

(a) Si determini la dimensione di W e di W⊥. -> dimW=2 dimW⊥=2
(b) Si determini una base ortogonale B1 di W .-> B1=[(2,-3,0,1);(-1,-2,-7,-4)]
(c) Si determini una base ortogonale B2 di W ⊥
E-C
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Re: problema sottospazio

Messaggioda solaàl » 16/02/2020, 08:22

Scrivi le equazioni che definiscono \(W\) nella forma
\[
\begin{cases}
\left(
\begin{smallmatrix}
x\\y\\z\\t
\end{smallmatrix}
\right)\cdot
\left(
\begin{smallmatrix}
a\\b\\c\\d
\end{smallmatrix}
\right) = 0 \\
\left(
\begin{smallmatrix}
x\\y\\z\\t
\end{smallmatrix}
\right)\cdot
\left(
\begin{smallmatrix}
e\\f\\g\\h
\end{smallmatrix}
\right) = 0
\end{cases}
\] Ora, \(\left\langle
\left(
\begin{smallmatrix}
a\\b\\c\\d
\end{smallmatrix}
\right), \left(
\begin{smallmatrix}
e\\f\\g\\h
\end{smallmatrix}
\right) \right\rangle\) è una base di \(W^\perp\) praticamente per definizione. Rendila ortogonale, e hai finito.
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