da Mephlip » 16/02/2020, 01:39
No, non puoi usare le regole di derivazione perché esse valgono solo nei punti in cui sai che la funzione è derivabile (questo fatto ti dovrebbe essere già noto dal calcolo differenziale in una variabile), quindi non puoi usare le regole di derivazione e farne il limite per dedurre la derivabilità perché $|x|$ non è derivabile in $0$ e tu stai studiando la derivabilità in $(0,0)$.
Per calcolare le derivate parziali in $(0,0)$ devi usare la definizione, ossia fare il limite del rapporto incrementale per l'incremento che tende a $0$, ossia devi calcolare
$$\frac{\partial f}{\partial x} (0,0):=\lim_{h \to 0} \frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}$$
Essendo un limite per $h\to0$, affinché esso esista devi studiare (come hai giustamente detto) sia la tendenza a destra che a sinistra di $h$.
Analogamente la derivata parziale rispetto ad $y$ in $(0,0)$ è data da
$$\frac{\partial f}{\partial y} (0,0) := \lim_{k \to 0} \frac{f(0,0+k)-f(0,0)}{k}$$
Anche qui devi studiare sia la tendenza a destra che a sinistra di $k$.
Se tali limiti esistono finiti e coincidono allora $f$ è derivabile in $(0,0)$ e le derivate parziali in $(0,0)$ sono i limiti suddetti; in tutti gli altri punti $(x,y)$ non ci sono problemi di derivabilità per $f$ e pertanto le derivate si calcolano con le regole di derivazione che hai scritto nel tuo primo messaggio.
A spoon can be used for more than just drinking soup. You can use it to dig through the prison you're locked in, or as a weapon to gouge the witch's eyes out. Of course, you can also use the spoon to continually sip the watery soup inside your eternal prison.