dubbio proprietà invariantiva radicali

Messaggioda chiaramc » 12/02/2020, 13:11

Salve, ho un dubbio riguardo i radicali e la proprietà invariantiva, ho capito che si applica quando il radicando è maggiore o uguale a 0 nei casi in cui l'indice è pari se è dispari si può applicare portando il segno - al di fuori della parentesi.

Invece, mi rimane un dubbio quando il radicando è letterale, anche in questo caso bisogna verificare le condizioni di esistenza ed il segno ed inserire il valore assoluto.
Praticamente ho un esempio non molto chiaro:
allora da ciò che ho capito il radicando in caso di indice pari deve essere sempre maggiore o uguale a 0, se l'indice è dispari può essere anche negativo, riguardo al segno può essere negativo e positivo se indice è dispari, mentre deve essere positivo se l'indice è pari, fin qui va bene?

L'esercizio è il seguente: portare i radicali a indice comune uguale a $6$
$4rada^2b^6$ per portare ad indice $6$ prima passo da indice $2$ e poi ottengo $6$ però il calcolo mi viene ma non capisco perché si mette sotto radice il valore assoluto.
Riflettendo bene forse perché la radice avendo indice pari deve avere come radicando un numero positivo?
Grazie
chiaramc
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Re: dubbio proprietà invariantiva radicali

Messaggioda @melia » 12/02/2020, 17:54

Suppongo che la radice sia $root(4)(a^2b^6)$
Questa radice esiste per ogni $a, b in RR$ perché sono elevati a potenza pari, quindi sono positivi.
Primo passo si semplificano radice ed esponenti ottendo, in teoria, $sqrt(ab^3)$, ma questa ha delle condizioni di esistenza che richiedono che $ab^3>=0$, perché non ci sono più esponenti pari, quindi $a, b$ concordi, o entrambi positivi o entrambi negativi, e il loro prodotto è positivo. Questo però ha modificato il problema, perché ne ha cambiato il dominio.

Come posso semplificare la radice senza modificare il dominio? Devo imporre che il radicando sia sempre $>=0$ e questo è possibile utilizzando il modulo, infatti $sqrt|ab^3|$ ha le stesse condizioni di esistenza di $root(4)(a^2b^6)$, cioè $AA a,b in RR$

Adesso per portare tutto sotto radice sesta devo moltiplicare per 3 indice ed esponenti
$sqrt|ab^3|= root(6)|a^3b^9|$ e non posso togliere il modulo perchè il prodotto potrebbe essere negativo.
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Re: dubbio proprietà invariantiva radicali

Messaggioda chiaramc » 16/02/2020, 20:06

ho capito, quindi nel primo caso essendo entrambi ad esponente dispari non si considera il valore assoluto, nel secondo caso invece essendo indice pari sia a che b devono essere entrambi positivi, stessa cosa quando diventa indice 6, grazie mille
chiaramc
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