Convergenza puntuale successione di funzioni in 0

[Luk_3D]

Considero l'intervallo per analizzare la convergenza $R^+$
Per $x>0$ è semplice giustificare la convergenza puntuale, infatti:

$fn(x)=(x^(2/n))/(2+nx^2)=e^(lnx^2/n)/(2+nx^2)$

Per $x=0$ come posso procedere?
Il logaritmo è definito per $x>0$ e prendendo la successione di partenza nemmeno $0^(2/n)$ per $n->+oo$è definito credo?

[dissonance]

Ma no, non ti complicare la vita. Quanto vale \(f_n(0)\)? Calcola questo e poi fai il limite per \(n\to \infty\).

[Luk_3D]

Ho provato ma mi ritrovo cosi:

$fn(0)=(0^(2/n))/(2+n*0^2)=(0^(2/n))/(2)$

E $0^(2/n)$ per $n->+oo$ posso dire che fa zero?

[dissonance]

Oh mamma mia. Quanto fa \(0^2\)? Quanto fa \(0^\frac23\)?

[Luk_3D]

Oh mamma mia. Quanto fa \(0^2\)? Quanto fa \(0^\frac23\)?

Ok, grazie ho capito il concetto

[dissonance]

Fa \(0\). Quindi, per ogni \(n\), \(f_n(0)=0\), e perciò \[\lim_{n\to \infty} f_n(0)=0.\]

[Luk_3D]

Sempre della stessa successione mi viene richiesto per $x in R$ , $n in N$ , $n >=3$
1) lo studio della convergenza uniforme in $[alpha,beta]$ dove $0<alpha<beta<=+oo$ (se $beta=+oo$ si intende $[alpha,beta)$)
2) lo studio della convergenza uniforme in $[-alpha,alpha]$, $alpha>0$

(Tutti i calcoli scritti qui sotto sono corretti. Sono stati verificati.)

Sto cercando di risolvere il primo punto:
Sto cercando di trovare il sup per $x in [alpha,beta]$
Calcolo la derivata di $g(x)=|fn(x)-f(x)|=|fn(x)|=fn(x)$
Quindi:

$g'(x)=(4/n*x^(2/n-1) + 2*x^(2/n+1) - 2*n*x^(2/n+1))/(2+nx^2)^2$

Dove per studiare il segno ci limitiamo a studiare il numeratore:

$nx^2(n-1)<=2$

Allora:

$-sqrt(2/((n - 1) n))<=x<=sqrt(2/((n - 1) n))$

Prima di procedere con il resto la mia domanda è:
Dove metto $alpha$ e $beta$ in questo intervallo? So che per regolarmi devo far tendere $n$ ad un numero molto grande ma mi riuscirebbe che $0<=x<=0$ e sapendo che $0<alpha<beta<=+oo$ dovrei porre sia $alpha$ sia $beta$ dopo questo punto trovato?

Tutte le ipotesi possibili:

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

https://i.imgur.com/XXegmbP.jpg

[Luk_3D]

Avendo domani l'esame se qualcuno mi potesse aiutare con questa discussione e magari con le altre mi salverebbe la vita

--- Update ---

Risolto!

1) C'è convergenza uniforme in quanto considerando un valore di $n$ molto grande ed essendo $alpha$ strettamente maggiore di zero, dato che $sqrt(2/((n - 1) n))$ tende a zero $alpha$ sarà il nostro max, essendo l'estremo inferiore di una successione monotona.
$lim_(n->+oo)|fn(x)-f(x)|=0$ con $x=alpha$

2) Non c'è convergenza uniforme in quanto il nostro max sarà $sqrt(2/((n - 1) n))$ e con delle opportune sostituzioni in
$lim_(n->+oo)|fn(x)-f(x)|=1/2!=0$ con $x=sqrt(2/((n - 1) n))$