da dissonance » 17/02/2020, 12:43
Tipico esempio di come fare un mare di conti inutili, buttandosi a macchinetta nei calcoli invece di riflettere.
Un modo molto più efficiente è il seguente. Sappiamo che \(\nabla U=F\), per ipotesi; quindi,
\[
\int_{(0,0,0)}^{(1,1,1)} F\cdot ds = U(1, 1, 1)-U(0,0,0), \]
e \(U(0,0,0)=0\), perciò resta solo da calcolare l'integrale di linea. La scrittura \(\int_{(0,0,0)}^{(1,1,1)}\) indica che si può prendere un qualsiasi cammino che vada da \((0,0,0)\) a \((1,1,1)\); quindi possiamo considerare il cammino
\[\tag{1}
x=t,\quad y=t, \quad z=t,\quad t\in[0,1];\]
cosicché \(dx=dy=dz=dt\) lungo questo cammino. Ora,
\[
F\cdot ds = (z^3+6xy^2)dx + (6x^2y+1)dy + 3xz^2dz, \]
perciò, sostituendo le equazioni della (1),
\[
F\cdot ds=(16t^3+1)\, dt, \]
e ci siamo ridotti a calcolare
\[
\int_0^1(16t^3+1)\, dt =\big[4t^4+t\big]^{t=1}_{t=0}= 5.\]
La risposta corretta era, quindi, la terza.
Si tratta di un conto IMMENSAMENTE più semplice che calcolare tutto il potenziale \(U\). Cerca di ragionare, prima di buttarti su un esercizio.