Ianya ha scritto:Forse mi sono espressa male, provo ad esprimermi con più precisione
$T:R^n rarr R^n$ trasformazione lineare rappresentata mediante una matrice quadrata $nxn T$. Riguardato $x in R^n$ come vettore colonna, $T(x) = Tx$ prodotto righe per colonne. Perché $abs(Tx) <= c abs (x) $ con $abs(Tx) $ e $abs(x) $ moduli?
Ora va meglio
La risposta alla tua domanda è che quella è una conseguenza della continuità e della linearità di \(T\). Infatti, usando la linearità,
\[
\frac{|Tx|}{|x|}=\left| T\frac{x}{|x|}\right|, \]
quindi
\[
\sup_{x\ne 0} \frac{|Tx|}{|x|} = \sup_{x\ne 0} \left| T\frac{x}{|x|}\right| = \sup_{y\in S}\left|Ty\right|,\]
dove \(S\) denota la sfera unitaria di \(\mathbb R^n\). Ora, il sup all'ultimo membro a destra è finito, perché \(S\) è un insieme compatto e \(T\) è continua: possiamo quindi denotare
\[
c:=\sup_{y\in S}\left|Ty\right|.\]
Ma questo \(c\) è anche il sup del rapporto \(|Tx|/|x|\), quindi
\[
\frac{|Tx|}{|x|}\le c,\qquad \forall x\ne 0, \]
che è la formula che cercavi.