Teoria di Galois polinomio di 3 grado

Messaggioda francicko » 13/02/2020, 13:47

Nel polinomio generico di 2 grado $x^2+bx+c$ ho che il suo gruppo di Galois è $S_2$,ed avremo $Q(sqrt(Delta)) $ come campo di spezzamento, quindi avremo la corrispondenza $Q->S_2$ed $Q(sqrt(Delta)) ->(e)$, ;
Nel caso di un polinomio generico di terzo grado, avente quindi come gruppo di Galois $S_3$, quale sarà la corrispondenza?
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Re: Teoria di Galois polinomio di 3 grado

Messaggioda Martino » 13/02/2020, 14:13

Formalmente c'è un dettaglio da correggere: il campo di spezzamento nel caso di grado $2$ non è $QQ(sqrt(Delta))$, è $K(sqrt(Delta))$ dove $K=QQ(b,c)$ e si intende che $b$ e $c$ sono variabili algebricamente indipendenti (altrimenti non è detto che il gruppo di Galois sia $S_2$).

Allo stesso modo per il grado $3$, diciamo che $f(X)=X^3+bX^2+cX+d$ e $K=QQ(b,c,d)$ dove $b,c,d$ sono variabili algebricamente indipendenti su $QQ$. Se $G$ è il suo gruppo di Galois su $K$ allora $G$ è isomorfo a $S_3$. Il gruppo $S_3$ contiene $3$ sottogruppi di ordine $2$ e un sottogruppo di ordine $3$. I tre sottogruppi di ordine $2$ corrispondono (tramite le corrispondenze di Galois) ai sottocampi $K(r_1)$, $K(r_2)$, $K(r_3)$ dove $r_1,r_2,r_3$ sono le radici di $f(X)$, mentre il sottogruppo di $G$ di ordine $3$ (che è isomorfo al gruppo alterno $A_3$) corrisponde al sottocampo $K(sqrt(Delta))$ dove $Delta$ è il discriminante del polinomio $f(X)$ (per la definizione di discriminante vedi qui).

Più in generale per polinomi di grado $n$ qualsiasi detto $G$ il gruppo di Galois visto come sottogruppo di $S_n$, l'intersezione $G nn A_n$ (dove $A_n$ è il gruppo alterno) corrisponde sempre a $K(sqrt(Delta))$ dove $Delta$ è il discriminante.
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Re: Teoria di Galois polinomio di 3 grado

Messaggioda francicko » 13/02/2020, 15:13

Grazie molte!
Perdona la mia ignoranza, ma il discriminante del polinomio generico di terzo grado con coeffic iente direttivo unitario non è per caso $(r_1-r_2)^2 ×(r_2-r_3)^2×(r_3-r_1)^2 $? ed apparterrebbe ad $Q(b,c)$?
È per caso una funzione simmetrica in quanto espressa in funzione dei coefficienti, in questo caso $(b, c) $, anch'essi funzioni simmetriche, e quindi invariante per ogni permutazione delle radici?
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Re: Teoria di Galois polinomio di 3 grado

Messaggioda Martino » 14/02/2020, 12:39

francicko ha scritto:Perdona la mia ignoranza, ma il discriminante del polinomio generico di terzo grado con coeffic iente direttivo unitario non è per caso $(r_1-r_2)^2 ×(r_2-r_3)^2×(r_3-r_1)^2 $?

ed apparterrebbe ad $Q(b,c)$?

È per caso una funzione simmetrica in quanto espressa in funzione dei coefficienti, in questo caso $(b, c) $, anch'essi funzioni simmetriche, e quindi invariante per ogni permutazione delle radici?
E' un'espressione invariante per ogni permutazione delle radici, e per questo motivo appartiene al campo dei coefficienti $K=QQ(b,c)$.
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Re: Teoria di Galois polinomio di 3 grado

Messaggioda francicko » 25/02/2020, 12:00

Però con l'aggiunzione di $sqrt(Delta) $, al campo fisso $Q$, ottengo un estensione $Q(sqrt(Delta)) $ che si è un intercampo, ma ancora contenuto nel campo di spezzamento delle radici;
Qual'è l'ulteriore aggiunzione che bisogna effettuare ad $Q(sqrt(Delta) ) $ affinché si raggiunga il campo di spezzamento delle radici?
Sicuramente questa aggiunzione farà sì, che il gruppo di Galois si riduca all'identità?
Giusto?
Mi scuso per la eventuale banalità delle domande ma sto cercando di capire, Grazie!
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Re: Teoria di Galois polinomio di 3 grado

Messaggioda Martino » 26/02/2020, 15:20

francicko ha scritto:Però con l'aggiunzione di $sqrt(Delta) $, al campo fisso $Q$, ottengo un estensione $Q(sqrt(Delta)) $ che si è un intercampo, ma ancora contenuto nel campo di spezzamento delle radici;
Qual'è l'ulteriore aggiunzione che bisogna effettuare ad $Q(sqrt(Delta) ) $ affinché si raggiunga il campo di spezzamento delle radici?
La scelta non è unica, ma per esempio puoi aggiungere una qualsiasi delle tre radici.
Sicuramente questa aggiunzione farà sì, che il gruppo di Galois si riduca all'identità?
Giusto?
Sì nel senso che se F è un campo di spezzamento allora il gruppo di Galois di F su F è il gruppo identico.
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