Calcolo integrale con il Teorema dei residui

[Giomo97]

Salve ho il seguente quesito che ho provato a risolvere: calcolare il seguente integrale in campo complesso
$ oint_(|z|= 4pi/3) (e^((z-5)/(z-1)))/(z^2-5z) dz $ .

Per prima cosa ho valutato le singolarità della funzione:
$ z_1 = 0 ; z_2=5 ; z_3= 1 $ e in particolare, $ z_1 = 0 ; z_2=5 $ sono singolarità polari semplici, mentre $ z_3=1 $ è una singolarità essenziale.

Le singolarità che sono comprese nella circonferenza $ |z|= 4pi/3 $ sono 0 e 1.
Grazie al teorema dei residui posso scrivere l'equazione:

$ Res(f(z), z1) + Res(f(z),z3) = -Res (f(z),z2) - Res (f(z),+infty) $

Di conseguenza per risolvere l'integrale, calcolo il residuo in z2 e il residuo all'infinito.
$ Res (f(z),z_2) = lim_(z->z_2) ((z-5)* e^((z-5)/(z-1)))/(z^2-5z) = 1/5 $
$ Res (f(z),+infty) $ -> Posso osservare che $ lim_(z->infty) (e^((z-5)/(z-1)))/(z^2-5z) = 0$ ,
per cui il residuo all'infinito posso calcolarlo come $ Res (f(z),+infty) = lim_(z->infty) zf(z) = 0 $

In conclusione l'integrale da come risultato::
$ oint_(|z|= 4pi/3) ( e^((z-5)/(z-1)))/(z^2-5z) dz = (-2pij)/5$


In alternativa, ho provato a calcolare il residuo in 1 con lo sviluppo in serie di Laurent, per poi sommarlo al residuo in 0 e quindi risolvere l'integrale, ma ho trovato difficoltà a gestire il denominatore, mentre il numeratore risulta essere $ e^(1-4/(z-1)) $ il cui sviluppo in serie è $ e /(sum_(n = 0) ((z-1)/(4n!))^n )$ .

Qualcuno sa come procedere lungo questa strada? Grazie..

[dissonance]

Come hai calcolato quel residuo all'infinito? Mi puzza di errore. Devi calcolare
\[
\lim_{w\to 0} -f(\tfrac1w)\tfrac1{w^2}.\]

[Giomo97]

Come hai calcolato quel residuo all'infinito? Mi puzza di errore. Devi calcolare
\[ \lim_{w\to 0} -f(\tfrac1w)\tfrac1{w^2}. \]

Considerando $ z=1/w $ , la funzione $ f(w) $ non ha in 0 una singolarità, di conseguenza il residuo in w=0 dovrebbe fare 0, giusto?

[dissonance]

No, non devi fare il residuo, devi calcolare il limite che ho scritto. Non penso che te ne possa uscire così in modo "soft". C'è da fare qualche conto.

P.S.: Per favore, modifica il titolo del primo post. Scrivere in TUTTO MAIUSCOLO equivale ad urlare e non è previsto dal regolamento di questo forum. Grazie.

[Giomo97]

Innanzitutto grazie per l'attenzione che mi stai dedicando. Ho modificato il titolo come da te suggerito e mi sono accorto di aver scritto male la funzione di partenza e alcuni passaggi. Ho corretto gli errori e ho svolto il limite da te proposto il quale risulta valere $ lim _(w->0) (-f(1/w) 1/w^2) = -e $

[dissonance]

E quindi il risultato del post originale va corretto. Adesso l'esercizio va bene. Anzi, è un buon svolgimento, mi piace l'uso del residuo all'infinito per aggirare la singolarità essenziale.

[Giomo97]

Scusami non mi sono ancora chiare delle cose:
Se considero una funzione $ f(z) $ tale che risulta avere un numero finito n di singolarità isolate, posso considerare una curva $ gamma $ , orientata in senso antiorario e che contiene tutte le singolarità, e calcolare l'integrale su $ gamma $ utilizzando il T. dei residui.
Per la singolarità a $ infty $ , considero $ gamma $ col verso di percorrenza opposto a quello precedente e quindi posso scrivere che :
$ Res(f(z), infty) = 1/(2pij) oint_(-gamma) f(z) dz $ .

Ponendo $ z=1/w $ da cui $ w=1/z $ e $ dz = -1/w^2 dw $ ottengo $ Res(f(z), infty) = Res(f(w), 0)= 1/(2pij) oint_(Gamma) -f(w)/w^2 dw $ dove $ Gamma $ è una curva circonferenza centrata in 0 percorsa in senso antiorario.

Ora valuto la funzione $ -f(w)/w^2 $, la quale, nel mio caso, risulta non avere in $ w=0 $ nessuna singolarità e di conseguenza, essendo la funzione $ -f(w)/w^2 $ olomorfa nella insieme $ D $ determinato dalla curva $ Gamma$ , per il T. di Cauchy , $oint_(Gamma) -f(w)/w^2 dw = 0 $.

In conclusione $ Res(f(z), infty) = Res(f(w), 0)= 0 $
Sbaglio??

Come seconda cosa, se volessi intestardirmi e calcolare il residuo in 1 senza considerare il residuo all'infinito e quindi sviluppare la funzione in Serie di Laurent, centrata in $ z_0 = 1 $ e valutarne il coefficiente $C_(-1) $ come dovrei procedere?

[dissonance]

In effetti questa cosa che ho scritto è sbagliata:

Devi calcolare
\[
\lim_{w\to 0} -f(\tfrac1w)\tfrac1{w^2}.\]

Non è il limite che bisogna calcolare, ma il residuo. Quindi la formula corretta è
\[
\mathrm{res}(f, \infty):=\mathrm{res}(-\tfrac1{w^2}f(\tfrac1w), w=0).\]

https://en.wikipedia.org/wiki/Residue_at_infinity

$"Res"(f(z), infty) = "Res"(f(w), 0)= 0$

Questo è sbagliato. La formula corretta è quella scritta sopra.

[Giomo97]

Non è il limite che bisogna calcolare, ma il residuo. Quindi la formula corretta è
$res(f,∞):=res(−1/wf(1/w),w=0)$ .

Intendevi $res(−1/w^2f(1/w),w=0)$ ?

In ogni caso, è giusta la mia osservazione sul fatto che non esiste la singolarità in 0 non esiste e quindi il residuo fa 0? Se così fosse il risultato da me postato inizialmente quindi è giusto.

Riguardo il secondo punto del post sai come aiutarmi??

[dissonance]

Ho corretto la formula. Quanto alla tua osservazione, è corretta. Rifaccio il conto;
\[
-\frac1{w^2} \frac{e^\frac{\frac{1}{w}-5}{\frac1w-1}}{\frac1{w^2}-\frac5w} =-\exp\left(\frac{1-5w}{1-w}\right)(1-5w)^{-1}.\]
Questa funzione è olomorfa in un intorno \(w=0\), come dicevi tu. Quindi il residuo all'infinito è effettivamente zero.

Quanto alla singolarità essenziale, l'unica cosa (credo) è calcolare lo sviluppo di Laurent intorno a \(1\). Mi sembra un po' laborioso e inoltre è inutile, visto come hai aggirato il problema usando il residuo all'infinito.