proprietà dell'integrale di Riemann

[dissonance]

Non è proprio immediato dimostrare che \(fg\) è integrabile. Sono andato a rivederlo perché non avrei saputo farlo in automatico. Ci si riduce a dimostrare che \(f^2\) è integrabile se \(f\) lo è, assumendo anche che \(f(x)\ge 0\) per ogni \(x\). Questo è sufficiente, perché poi si può scrivere
\[
fg=\frac14\left( (f+g)^2-(f-g)^2\right), \]
e chiaramente \(f+g\) ed \(f-g\) sono integrabili, quindi a posteriori il membro destro di questa identità risulterà integrabile. Si può assumere che \(f\ge 0\) perché \(f^2=|f|^2\). Siccome \(f\) è limitata, diciamo \(0\le f(x)\le M/2\), abbiamo che
\[
f^2(x)-f^2(y)=(f(x)+f(y))(f(x)-f(y))\le M(f(x)-f(y)).\]
E a questo punto non dovrebbe essere difficile mostrare che
\[
s(f^2,I)= S(f^2,I).\]
Insomma, non è proprio un esercizio da primo anno.

[Aletzunny]

Non è proprio immediato dimostrare che \(fg\) è integrabile. Sono andato a rivederlo perché non avrei saputo farlo in automatico. Ci si riduce a dimostrare che \(f^2\) è integrabile se \(f\) lo è, assumendo anche che \(f(x)\ge 0\) per ogni \(x\). Questo è sufficiente, perché poi si può scrivere
\[
fg=\frac14\left( (f+g)^2-(f-g)^2\right), \]
e chiaramente \(f+g\) ed \(f-g\) sono integrabili, quindi a posteriori il membro destro di questa identità risulterà integrabile. Si può assumere che \(f\ge 0\) perché \(f^2=|f|^2\). Siccome \(f\) è limitata, diciamo \(0\le f(x)\le M/2\), abbiamo che
\[
f^2(x)-f^2(y)=(f(x)+f(y))(f(x)-f(y))\le M(f(x)-f(y)).\]
E a questo punto non dovrebbe essere difficile mostrare che
\[
s(f^2,I)= S(f^2,I).\]
Insomma, non è proprio un esercizio da primo anno.

Allora onestamente l'ultima parte della dimostrazione non ho comunque capito come farlo, cioè come dimostra che $s(f^2,I)=S(f^2,I)$.
Inoltre dovrei ragionare così anche per $g$?
Arrivando a dimostrare cosa?

[dissonance]

Dalle domande che fai vedo che non mi sono spiegato affatto. Ma non penso sia il caso di continuare. Questo non è un esercizio da discutere su un forum, ma un teorema "da libro". Meglio prendere un buon libro di analisi e andarselo a studiare.

https://math.stackexchange.com/a/5709/8157

[Mephlip]

@dissonance: io avrei usato le funzioni semplici considerando (utilizzando la notazione di Aletzunny) di aggiungere e sottrarre il "termine misto" $\phi \sigma$, diciamo che se uno tiene a mente la dimostrazione di "il limite del prodotto è il prodotto dei limiti" può riciclare il ragionamento. Altrimenti c'è il trucco che hai usato tu, ma in effetti è meno immediato. Forse col termine misto è meno tecnica.

[Aletzunny]

Sto preparando lo scritto teorico di analisi 1 e sto utilizzando il Giusti come testo.
Tuttavia a lezioni è stata data davvero molta importanza agli integrali e pur cercando online, sul libro e soprattutto cercando io stesso di dimostrarle non riesco a dimostrare queste due proprietà degli integrali.

siano $f,g:I->R$ R-integrabili allora

$1)$ $\int_I f(x)*g(x) dx$ è R integrabile.

$2)$ se $I=I_1 uu I_2$ , allora $f$ è integrabile su $I$ se e solo se è integrabile su $I_1$ e $I_2$ e vale

$\int_I f(x) dx$ $=$ $\int_(I_1) f(x) dx$ $+$ $\int_(I_2) f(x) dx$ $-$ $\int_(I_1 nn I_2) f(x) dx$

Grazie

[gugo82]

siano $f,g:I->R$ R-integrabili allora

$1)$ $\int_I f(x)*g(x) dx$ è R integrabile.

Puoi seguire il suggerimento dato da dissonance.

In alternativa, puoi usare alcuni teoremi più fini della teoria dell'integrazione (che ai miei tempi si studiavano).
Ad esempio, una linea di ragionamento può essere la seguente. Innanzitutto, vale il:

Teorema di Vitali & Lebesgue:

Siano $a<b in RR$ ed $f:[a,b] -> RR$ limitata.
La $f$ è integrabile in $[a,b]$ se e solo se l'insieme $Delta_f$ dei punti di discontinuità di $f$ ha lunghezza nulla secondo Lebesgue.¹

Da ciò deriva il seguente fatto fondamentale:

Teorema di Integrabilità delle Funzioni Composte:

Siano $a<b in RR$, $Y sube RR^N$ (con $N in NN$ ed $N >= 1$), $F: Y -> RR$ e $g_1, …, g_N : [a,b] -> RR$.

Se:

• la $F$ è continua in $Y$ e limitata sui sottoinsiemi limitati di $Y$,
  
  
• le $g_1, …, g_N$ sono limitate ed integrabili in $[a,b]$,
  
  
• per ogni $x in [a,b]$ risulta $(g_1(x), …, g_N(x)) in Y$

allora la funzione composta $f:[a,b] -> RR$ definita ponendo:

$$f(x) := F(g_1(x), …, g_N(x))$$

è limitata ed integrabile in $[a,b]$

Di qui si conclude facilmente che vale il seguente fatto:

Corollario sull'Integrabilità di tutto il malloppone:

Siano $a<b in RR$ ed $f_1,f_2 :[a,b] -> RR$.

Se $f_1$ ed $f_2$ sono limitate ed integrabili in $[a,b]$, allora le funzioni $f_1 * f_2$, $|f_1|$, $f_1^p$ (con $p in NN$) e $k_1*f_1+k_2*f_2$ (con $k_1,k_2 in RR$) sono tutte limitate ed integrabili in $[a,b]$.
Se $text(inf)_(a<= x <= b) f_2(x) >0$, allora anche la funzione $f_1/f_2$ è limitata ed integrabile in $[a,b]$.

$2)$ se $I=I_1 uu I_2$ , allora $f$ è integrabile su $I$ se e solo se è integrabile su $I_1$ e $I_2$ e vale

$\int_I f(x) dx$ $=$ $\int_(I_1) f(x) dx$ $+$ $\int_(I_2) f(x) dx$ $-$ $\int_(I_1 nn I_2) f(x) dx$

Questa non mi pare particolarmente proibitiva.
Prova da solo.

---

Note

1. Il che vuol dire che per ogni $epsilon > 0$ esiste una successione di intervalli $[alpha_n, beta_n]$ tali che $Delta_f sube uu_(n in NN) [alpha_n, beta_n]$ e $sum_(n=0)^oo beta_n - alpha_n < epsilon$. ↑

[Aletzunny]

siano $f,g:I->R$ R-integrabili allora

$1)$ $\int_I f(x)*g(x) dx$ è R integrabile.

Puoi seguire il suggerimento dato da dissonance.

In alternativa, puoi usare alcuni teoremi più fini della teoria dell'integrazione (che ai miei tempi si studiavano).
Ad esempio, una linea di ragionamento può essere la seguente. Innanzitutto, vale il:

Teorema di Vitali & Lebesgue:

Siano $a<b in RR$ ed $f:[a,b] -> RR$ limitata.
La $f$ è integrabile in $[a,b]$ se e solo se l'insieme $Delta_f$ dei punti di discontinuità di $f$ ha lunghezza nulla secondo Lebesgue.¹

Da ciò deriva il seguente fatto fondamentale:

Teorema di Integrabilità delle Funzioni Composte:

Siano $a<b in RR$, $Y sube RR^N$ (con $N in NN$ ed $N >= 1$), $F: Y -> RR$ e $g_1, …, g_N : [a,b] -> RR$.

Se:

• la $F$ è continua in $Y$ e limitata sui sottoinsiemi limitati di $Y$,
  
  
• le $g_1, …, g_N$ sono limitate ed integrabili in $[a,b]$,
  
  
• per ogni $x in [a,b]$ risulta $(g_1(x), …, g_N(x)) in Y$

allora la funzione composta $f:[a,b] -> RR$ definita ponendo:

$$f(x) := F(g_1(x), …, g_N(x))$$

è limitata ed integrabile in $[a,b]$

Di qui si conclude facilmente che vale il seguente fatto:

Corollario sull'Integrabilità di tutto il malloppone:

Siano $a<b in RR$ ed $f_1,f_2 :[a,b] -> RR$.

Se $f_1$ ed $f_2$ sono limitate ed integrabili in $[a,b]$, allora le funzioni $f_1 * f_2$, $|f_1|$, $f_1^p$ (con $p in NN$) e $k_1*f_1+k_2*f_2$ (con $k_1,k_2 in RR$) sono tutte limitate ed integrabili in $[a,b]$.
Se $text(inf)_(a<= x <= b) f_2(x) >0$, allora anche la funzione $f_1/f_2$ è limitata ed integrabile in $[a,b]$.

$2)$ se $I=I_1 uu I_2$ , allora $f$ è integrabile su $I$ se e solo se è integrabile su $I_1$ e $I_2$ e vale

$\int_I f(x) dx$ $=$ $\int_(I_1) f(x) dx$ $+$ $\int_(I_2) f(x) dx$ $-$ $\int_(I_1 nn I_2) f(x) dx$

Questa non mi pare particolarmente proibitiva.
Prova da solo.

Onestamente la maledettissima $1)$ vorrei dimostrarla con lo stesso metodo usato in università, cioè quello delle successioni a scala come per $f+g$ ma non riesco

---

Note

1. Il che vuol dire che per ogni $epsilon > 0$ esiste una successione di intervalli $[alpha_n, beta_n]$ tali che $Delta_f sube uu_(n in NN) [alpha_n, beta_n]$ e $sum_(n=0)^oo beta_n - alpha_n < epsilon$. ↑

[gugo82]

Eh, "con lo stesso metodo usato in università"... Ma se non lo specifichi mai quando chiedi, come potremmo saperlo noi?
Mica abbiamo seguito insieme a te…

Ad ogni buon conto, hai provato qualcosa?
Cosa?
Perché non funziona?

[Aletzunny]

Eh, "con lo stesso metodo usato in università"... Ma se non lo specifichi mai quando chiedi, come potremmo saperlo noi?
Mica abbiamo seguito insieme a te…

Ad ogni buon conto, hai provato qualcosa?
Cosa?
Perché non funziona?

Appena ho tempo cerco di scrivere tutti i passaggi con il linguaggio di scrittura del sito

[Aletzunny]

Non è proprio immediato dimostrare che \(fg\) è integrabile. Sono andato a rivederlo perché non avrei saputo farlo in automatico. Ci si riduce a dimostrare che \(f^2\) è integrabile se \(f\) lo è, assumendo anche che \(f(x)\ge 0\) per ogni \(x\). Questo è sufficiente, perché poi si può scrivere
\[
fg=\frac14\left( (f+g)^2-(f-g)^2\right), \]
e chiaramente \(f+g\) ed \(f-g\) sono integrabili, quindi a posteriori il membro destro di questa identità risulterà integrabile. Si può assumere che \(f\ge 0\) perché \(f^2=|f|^2\). Siccome \(f\) è limitata, diciamo \(0\le f(x)\le M/2\), abbiamo che
\[
f^2(x)-f^2(y)=(f(x)+f(y))(f(x)-f(y))\le M(f(x)-f(y)).\]
E a questo punto non dovrebbe essere difficile mostrare che
\[
s(f^2,I)= S(f^2,I).\]
Insomma, non è proprio un esercizio da primo anno.

Allora onestamente l'ultima parte della dimostrazione non ho comunque capito come farlo, cioè come dimostra che $s(f^2,I)=S(f^2,I)$.
Inoltre dovrei ragionare così anche per $g$?
Arrivando a dimostrare cosa?

Su che testo o pdf è possibile trovare la dimostrazioni che $f^2$ è integrabile, anche$(f+g)^2$ e dunque poi applicando il suggerimento anche ,$f*g$ ?

Grazie