Salve ho il seguente quesito che ho provato a risolvere: calcolare il seguente integrale in campo complesso
$ oint_(|z|= 4pi/3) (e^((z-5)/(z-1)))/(z^2-5z) dz $ .
Per prima cosa ho valutato le singolarità della funzione:
$ z_1 = 0 ; z_2=5 ; z_3= 1 $ e in particolare, $ z_1 = 0 ; z_2=5 $ sono singolarità polari semplici, mentre $ z_3=1 $ è una singolarità essenziale.
Le singolarità che sono comprese nella circonferenza $ |z|= 4pi/3 $ sono 0 e 1.
Grazie al teorema dei residui posso scrivere l'equazione:
$ Res(f(z), z1) + Res(f(z),z3) = -Res (f(z),z2) - Res (f(z),+infty) $
Di conseguenza per risolvere l'integrale, calcolo il residuo in z2 e il residuo all'infinito.
$ Res (f(z),z_2) = lim_(z->z_2) ((z-5)* e^((z-5)/(z-1)))/(z^2-5z) = 1/5 $
$ Res (f(z),+infty) $ -> Posso osservare che $ lim_(z->infty) (e^((z-5)/(z-1)))/(z^2-5z) = 0$ ,
per cui il residuo all'infinito posso calcolarlo come $ Res (f(z),+infty) = lim_(z->infty) zf(z) = 0 $
In conclusione l'integrale da come risultato::
$ oint_(|z|= 4pi/3) ( e^((z-5)/(z-1)))/(z^2-5z) dz = (-2pij)/5$
In alternativa, ho provato a calcolare il residuo in 1 con lo sviluppo in serie di Laurent, per poi sommarlo al residuo in 0 e quindi risolvere l'integrale, ma ho trovato difficoltà a gestire il denominatore, mentre il numeratore risulta essere $ e^(1-4/(z-1)) $ il cui sviluppo in serie è $ e /(sum_(n = 0) ((z-1)/(4n!))^n )$ .
Qualcuno sa come procedere lungo questa strada? Grazie..