[Teoria dei sistemi] Definizione di stato di equilibrio asintoticamente stabile

Messaggioda CosenTheta » 21/03/2020, 02:14

Sto cercando di interpretare in maniera grafica, senza successo, la definizione di stabilità di uno stato di equilibrio per un sistema dinamico stazionario

\(\displaystyle \dot{x(t)} = f(x(t), u(t)), x(0) = x_{0} \).

Uno stato di equilibrio è un particolare valore \(\displaystyle \bar{x} \) di \(\displaystyle x(t) \) tale che, supposto \(\displaystyle u(t) = U = costante \),
renda \(\displaystyle f(\bar{x}, U) = 0 \).

Quella che mi è ostica da intepretare, soprattutto a livello grafico, è la definizione di stabilità per $\bar{x}$, che è la seguente:

Per ogni $\epsilon$>0 esiste un $\delta$>0 tale che, per tutti gli stati iniziali $x_{0}$ tali che $||x_{0} - \bar{x}|| < \delta$, deve risultare $||x(t) - \bar{x}|| < \epsilon$ per ogni $t$ positivo.

Ecco i dubbi:
1) Che cosa intende la definizione quando parla di "tutti gli stati iniziali $x_{0}$"? Lo stato iniziale di un sistema non è uno solo?
2) Per capire cosa intendesse la definizione, ho tentato di visualizzare la situazione graficamente, ma non sono riuscito a rappresentarla. Potreste fornirmene un esempio con un movimento dello stato $x(t)$ monodimensionale?
3) La definizione di asintotica stabilità di uno stato di equilibrio $\bar{x}$ prevede che, oltre a essere stabile, risulti che

$\lim_{t-> \infty}||x(t) - \bar{x}|| = 0$

che, tradotto in linguaggio naturale, sta ad indicare che all'aumentare di $t$ la distanza tra il movimento dello stato e lo stato di equilibrio si annulla.

Confermate che, allora, la stessa definizione si sarebbe potuta anche scrivere equivalentemente come $\lim_{t->\infty}x(t) =\bar{x}$?

Grazie.
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Re: [Teoria dei sistemi] Definizione di stato di equilibrio asintoticamente stabile

Messaggioda CosenTheta » 21/03/2020, 12:07

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Re: [Teoria dei sistemi] Definizione di stato di equilibrio asintoticamente stabile

Messaggioda feddy » 21/03/2020, 17:20

Ciao,

1) Uno stato iniziale altro non è che un dato iniziale per la tua ODE.
2) Cerca su internet "stability dynamical system". Troverai sicuramente risorse utili e disegni. Sostanzialmente vuol dire che riesci a controllare la variazione in della soluzione quando sposti il dato . Tutto sta nel "come" questa variazione venga controllata
3) Puoi provare usando la definizione di limite a mostrare se sono equivalenti o meno.
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Re: [Teoria dei sistemi] Definizione di stato di equilibrio asintoticamente stabile

Messaggioda Thememe1996 » 21/03/2020, 22:38

Ciao,

parto dalla domanda 2), con questa immagine:

Immagine

Viene data una definizione formale, ma anche una rappresentazione grafica, spiegata anche a parole.

Tornando alla domanda 1), x0 è il punto di partenza da cui il sistema comincia a muoversi, per convergere/divergere alla configurazione di equilibrio.
Pensa ad un pendolo: i diversi x0 sono i diversi angoli di cui puoi inclinarlo. Questo ha due posizioni di equilibrio, entrambe quando è disposto verticalmente, verso l’alto e verso il basso: la prima è instabile, perché facendolo cominciare a muovere da una qualsiasi x0 (angolo) si allontana dalla posizione verticale verso l’alto; il pendolo, invece, converge sempre alla posizione verticale verso il basso per QUALSIASI (come nella definizione) angolo (x0), quindi la posizione è stabile.

Riguardo la domanda 3, hai ragione: se la tua variabile x(t) ha una sola componente, allora puoi anche scrivere il limite come hai fatto tu. Mettere la norma è più generico e va bene anche per variabili multi-dimensionali.
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Re: [Teoria dei sistemi] Definizione di stato di equilibrio asintoticamente stabile

Messaggioda CosenTheta » 22/03/2020, 02:51

Grazie mille per la spiegazione. Per concludere il post, volevo mostrare ciò che il mio libro utilizza per far capire il significato di stabilità e stabilità asintotica, ma anche lì i tentativi di comprensione sono falliti.

Il libro mostra questo grafico:

Immagine

E' la rappresentazione di una $\dot{x(t)}$ in funzione dei valori assunti da $x(t)$ e si vede chiaramente che i punti di equilibrio sono tutti i valori minori di -1 compreso, 2 e 4, perché sono i valori in cui $\dot{x(t)}$ è nulla.

Poi, continua dicendo:

1)tutti i valori strettamente minori di -1 sono stabili, ma non asintoticamente;
2)-1 e 4 sono instabili;
3)2, oltre a essere stabile, lo è anche asintoticamente;

Ho tentato di applicare ciò che mi hai detto nel post precedente a questo grafico, tentando di motivare i 3 punti, ma niente. Per esempio, per il primo punto, scelgo come stato di equilibrio da analizzare $\bar{x} = -2$ e come stati iniziali tutti i punti nell'intorno, per esempio, $(-2.1,-1.9)$. Qual è la conclusione?

Grazie.
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Re: [Teoria dei sistemi] Definizione di stato di equilibrio asintoticamente stabile

Messaggioda Riccardo Desimini » 22/03/2020, 14:51

Uno stato di equilibrio $\bar x$ è stabile se si può mantenere l'evoluzione temporale del sistema in un intorno di $\bar x$ arbitrariamente piccolo, a patto di inizializzare il sistema sufficientemente vicino a $\bar x$.
L'asintotica stabilità è invece una condizione più forte perché, oltre alla stabilità, si richiede che l'evoluzione temporale, nel suo mantenersi in un intorno di $\bar x$, sia anche convergente a $\bar x$ per $t\to+\infty$.

Nell'esempio proposto dal tuo libro, prendi una quantità $\epsilon>0$ piccola a piacere. Se tu scegli $x_0$ nell'intorno di centro $\bar x=-2$ e raggio $\delta\in (0,\min\{\epsilon,0.5\})$, che cosa succede all'evoluzione temporale del sistema inizializzato a $x_0$? Si mantiene ad ogni istante nell'intorno di centro $\bar x$ e raggio $\epsilon$? È convergente a $\bar x$ per $t\to +\infty$?
Riccardo Desimini
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Re: [Teoria dei sistemi] Definizione di stato di equilibrio asintoticamente stabile

Messaggioda Thememe1996 » 23/03/2020, 11:05

Ciò che dice l’esempio è corretto: se prendi una grandezza x, la sua derivata temporale è il tasso con cui si allontana dallo stato attuale.
Nell’esempio:
1) per x<-1 hai che la derivata (vedila come la velocità) è nulla, quindi anche se applichi uno spostamento a x (pur di rimanere in x<-1) la velocità del nuovo stato sarà ancora nulla. Quindi il sistema non si sposta divergendo, ma rimane nel punto in cui lo collochi, quindi è stabile, ma non asintoticamente, perché una volta che ti sposti da un certo stato, non ritorni a quest’ultimo perché hai una velocità nulla.
Fisicamente è come prendere un corpo su un piano orizzontale e spostarlo lungo il piano; questo non torna indietro, ma non diverge.
2) il punto x=-1 è particolare. Se da x=-1 ti sposti a sinistra, arrivi ad un punto con velocità nulla, che è un punto di equilibrio. Questo ha velocità nulla, perciò da esso il sistema non si sposta.
Se invece ti sposti verso destra, arrivi ad un insieme di valori di x che hanno derivata positiva, quindi è come avere una velocità positiva che fa crescere x (vista come la posizione) e fa divergere il sistema da x=-1.
Quindi x=-1 è instabile perché o da esso si converge ad un altro punto di equilibrio (x<1) e a x=-1 non si torna più, oppure, spostandosi verso destra, il sistema diverge.
È come avere un corpo su una guida orizzontale alla sinistra del corpo e in discesa alla destra del corpo.
3) il punto x=4 è anche esso instabile perché, spostandosi verso sinistra, si hanno punti a velocità negativa, che fanno decresce x e lo fanno allontanare da x=4, mentre verso destra ci sono punti con velocità positiva che fanno crescere x e lo fanno da x=4.
Fisicamente, è come avere un corpo su un picco, con una discesa sia a destra che sinistra del picco.
4) infine, il punto x=2 è stabile asintoticamente perché spostandosi verso destra, si trovano punti con velocità (derivata) positiva che fanno aumentare il valore di x, riportandolo in x=2; mentre spostandosi verso destra, si incontrano punti a velocità negativa che riportano x al valore di x=2.
Anche che il ritorno a x=2 (sia da x<2 o x>2) avvenga con una certa inerzia per cui il sistema torna in x=2, ma procede oltre per inerzia, entra comunque in una zona del piano che ha valori di derivata che lo tendono a riportare in x=2; quindi oscillando, asintoticamente, x tende a stabilizzarsi in x=2.
Fisicamente, è come un corpo in una valle.

Ti ho parlato di velocità, come se x fosse la posizione e la sua derivata la velocità, e da lì ti ho potuto esemplificare le varie casistiche con esempi pratici.
Il discorso puoi generalizzarlo ad una qualsiasi grandezza x e alla sua derivata: i vari esempi che ho fatto vedili come la forma del grafico di x in un suo intorno. Se c’è una derivata positiva, il valore di x cresce, se è negativa, il valore di x decresce, mentre se è nulla, x rimane costante.
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Re: [Teoria dei sistemi] Definizione di stato di equilibrio asintoticamente stabile

Messaggioda serendipity00 » 23/03/2020, 12:21

Anche che il ritorno a x=2 (sia da x<2 o x>2) avvenga con una certa inerzia per cui il sistema torna in x=2, ma procede oltre per inerzia, entra comunque in una zona del piano che ha valori di derivata che lo tendono a riportare in x=2; quindi oscillando, asintoticamente, x tende a stabilizzarsi in x=2.
Fisicamente, è come un corpo in una valle

No

$dot x=x-2$

Più si avvicina a x=2 e più va lento, al limite si ferma in x=2, senza mai oltrepassarlo
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Re: [Teoria dei sistemi] Definizione di stato di equilibrio asintoticamente stabile

Messaggioda CosenTheta » 23/03/2020, 18:15

Grazie per le risposte. Per essere sicuro di aver compreso, ho tentato di svolgere il seguente esercizio:

Si consideri il sistema dinamico $\dot{x(t)} = u(t)x^{3}(t)$
Determinarne gli stati di equilibrio per $u(t) = 1$ e $u(t) = -1$ e caratterizzarli in termini di stabilità.


Ho innanzitutto calcolato gli stati di equilibrio tramite definizione.

Caso u(t) = 1.
$\dot{x(t)} = 0 \Leftrightarrow x^{3}(t) = 0 \Leftrightarrow x(t) = 0.$
$\dot{x(t)} > 0 \Leftrightarrow x^{3}(t) > 0 \Leftrightarrow x(t) > 0.$
$\dot{x(t)} < 0 \Leftrightarrow x^{3}(t) < 0 \Leftrightarrow x(t) < 0.$

Un grafico puramente qualitativo della situazione in esame, intorno a zero, può essere il seguente:

Immagine

Qualsiasi punto alla destra di zero ha derivata (velocità) positiva, di conseguenza tende ad allontanarsi indefinitamente dallo zero verso $+\infty$. Stesso dicasi per i valori alla sinistra di zero, che avendo derivata (velocità) negativa, "tornano indietro" verso $-\infty$. Ergo, zero risulta instabile.

Caso u(t) = -1.
$\dot{x(t)} = 0 \Leftrightarrow -x^{3}(t) = 0 \Leftrightarrow x(t) = 0.$
$\dot{x(t)} > 0 \Leftrightarrow -x^{3}(t) > 0 \Leftrightarrow x(t) < 0.$
$\dot{x(t)} < 0 \Leftrightarrow -x^{3}(t) < 0 \Leftrightarrow x(t) > 0.$

Ancora qualitativamente, ottengo questo:

Immagine

Questa volta, alla destra di zero la derivata è negativa, quindi qualsiasi valore tende a "tornare indietro" fino ad assestarsi a zero, dove lì la derivata (velocità) è nulla. Stesso dicasi per i valori di sinistra, che tendono ad avanzare verso lo zero, fino a fermarvici, sempre per via dell'annullamento della derivata. Quindi zero, questa volta, risulta stabile; in più, esso lo è anche asintoticamente, perché comunque io scelga un punto alla sua sinistra o alla sua destra, vi convergerà sempre.

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Re: [Teoria dei sistemi] Definizione di stato di equilibrio asintoticamente stabile

Messaggioda Thememe1996 » 26/03/2020, 20:30

Sì, giusto. Confermo, è corretta la tua risoluzione.
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