mgrau ha scritto:1) non esiste "l'insieme dei triangoli che hanno lo stesso perimetro (o area)"; esiste invece "l'insieme dei triangoli che hanno un dato perimetro (o area)"
Giusto.
mgrau ha scritto:2) si tratta di insiemi infiniti, e non ce n'è uno incluso nell'altro: cosa vuol dire allora "più piccolo"?
“Più piccolo” può voler dire tante cose ed, a ben vedere, caratterizzare la “piccolezza” di un dato insieme rispetto ad un dato problema è una delle grandi tematiche della ricerca Matematica dalla metà dello ‘800 fino ad oggi.
Quindi, effettivamente, Filippo12 farebbe meglio a specificare il senso di “piccolo” in questo contesto.
mgrau ha scritto:3) e anche se uno fosse incluso nell'altro, trattandosi di insiemi infiniti, non si potrebbe senz'altro dire che uno è più numeroso dell'altro
Falso.
$NN$ è più piccolo di $RR$ in numerosi sensi, anche in quello della “numerosità”.
mgrau ha scritto:4) infine, nel merito: dato un perimetro, i triangoli con quel perimetro possono avere qualsiasi area con un limite superiore; viceversa, data un'area, i triangoli con quell'area possono avere qualsiasi perimetro, con un limite inferiore. La situazione mi pare abbastanza simmetrica...
Non è detto, almeno non finché non si chiarisce il significato di “piccolo”.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)