$l^{2}$ è completo.

Messaggioda Reyzet » 22/03/2020, 15:14

Non so se questo topic fosse più adatto ad analisi di base, comunque dovrei provare che lo spazio delle successioni reali quadrato sommabili è completo (di Hilbert).
Ho fatto così: sia ${x^{r}}_{r \in \mathbb{N}}={(x_{n}^{r})_{n}}_{r\in \mathbb{N}}$ di Cauchy, maggiorando opportunamente si trova che $(x_{n}^{r})$ è Cauchy per ogni n fissato perciò converge nei reali a un certo $x_{n}$, ovvero $\underset{r}{lim}x_{n}^{r}=x_{n}$definendo così una successione $x$, dico che questa è il limite cercato.
Da qui non saprei se è corretto.
Essendo Cauchy, fissiamo il nostro caro $\epsilon >0$, troviamo $\alpha$ tale che se $p,q>\alpha$ e $s \in \mathbb{N}$ si ottiene
$\sum_{n=1}^{s} |x_{n}^p-x_{n}^q|^2 \leq ||x^p-x^q||^2 \leq epsilon^2$. Facendo tendere p a infinito (si può fare perché la somma è finita (?)) trovo $\sum_{n=1}^{s} |x_{n}-x_{n}^q|^2 \leq \epsilon^2$ per $q > \alpha$.
1)x sta in $l^2$: dalla diseguaglianza triangolare in $\mathbb{R}^s$ si ha $(\sum_{n=1}^{s} |x_{n}|^2)^(1/2) \leq \epsilon + ||x^q||$, per arbitrarietà di s $||x||<\infty$.
2)Convergenza: sempre per arbitrarietà di s esce fuori $||x-x^q|| \leq \epsilon$ per $q>\alpha$.

Va bene? C'erano modi migliori?
Temo di essermi confuso con la bolgia di indici e non sono sicuro di quel passaggio al limite.
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Re: $l^{2}$ è completo.

Messaggioda Bremen000 » 26/03/2020, 21:45

Ciao,
Reyzet ha scritto:[...]completo (di Hilbert).[...]

non sono sinonimi. Una cosa è molto più forte dell'altra, cioè tutti gli spazi di Hilbert sono spazi di Banach che sono spazi metrici completi. Non tutti gli spazi metrici completi sono spazi di Banach e non tutti gli spazi di Banach sono di Hilbert.

Qui trovi una dimostrazione molto dettagliata di quello che ti serve. E' un fatto abbastanza standard e si dimostra come stai facendo tu, quindi dovresti riuscire a controllare se quello che hai fatto è corretto.
"Nessuno riuscirà a cacciarci dal Paradiso che Cantor ha creato per noi." (Hilbert)
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Re: $l^{2}$ è completo.

Messaggioda Reyzet » 27/03/2020, 13:35

Nono certo, conosco la differenza tra tutte queste nozioni, partivo dal presupposto che fosse prehilbertiano (anzi l'ho dimostrato in un esercizio fatto prima di questo).

Comunque so che è standard ma non ho trovato nessuna dimostrazione sul libro e quelle su internet erano simili alla mia fino a un certo punto, ma poi deviavano.
Grazie per il link comunque, ora do un'occhiata!
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