Masaki ha scritto:Non ha senso chiedersi cosa succede puntualmente in $t=0$.
Sono d'accordo. Per quello sto contestando l'imporre condizioni iniziali. Puoi farlo, ma dovresti specificare in che senso le imponi. Questi sembrano dettagli tecnici senza importanza, ma un po' di importanza ce l'hanno.
Quanto ai conti, se \(\gamma=0\) allora la soluzione
con dati iniziali \(x_0=0, x_1=0\) è data, formalmente, dall'integrale
\[
u(t)=\int_0^t\frac{\sin(\omega_0(t-t'))}{\omega_0}f(t')\, dt'.\]
Se \(f\) è una distribuzione questo integrale ha ancora senso, per esempio si può interpretare come una convoluzione.
Se imponiamo \(x_1\ne 0\) bisogna aggiungere
\[
x_1\sin(\omega_0t).\]
Qui non ci sono grossi problemi nel prolungare a sinistra di zero, perché questa funzione vale \(0\) per \(t=0\). Ma se imponiamo \(x_0\ne 0\) dobbiamo aggiungere
\[
x_0\cos(\omega_0 t), \]
e quindi introduciamo una discontinuità, che a sua volta introduce una delta di Dirac una volta derivata e quindi va a creare problemi nell'equazione.