Re: Superfici k-dimensionali in $\mathbb{R}^n$: un primo esercizio

Messaggioda Silent » 25/03/2020, 11:17

j18eos ha scritto:A parte che non capisco il motivo per cui $ϕ_2≡0$...

Per definizione di 1-manifold:

Silent ha scritto:un insieme \( \displaystyle S\subset\mathbb{R}^n \) è detto superficie k-dimensionale in \( \displaystyle \mathbb{R}^n \) se per ogni punto \( \displaystyle x_0\in S \) esiste un suo intorno \( \displaystyle U(x_0) \) e un diffeomorfismo \( \displaystyle \varphi \) (cioé un cambio di coordinate da \( \displaystyle (x_1,...,x_n) \) a \( \displaystyle (t_1,...,t_n) \)) tale che nelle nuove coordinate l'insieme \( \displaystyle U(x_0)\cap S \) si possa definire come \( \displaystyle t_{k+1}=...=t_n=0 \).



j18eos ha scritto:quest'ultimo si dovrebbe spezzarsi in 4 pezzi. Topologicamente questo è assurdo: perché?

Non lo so, sono sincero, non lo so.
Quello che posso dire è che se tolgo l'origine, l'intera \(\displaystyle S\setminus\{0\} \) (cioè l'insieme dei 4 rami) è una 1-manifold, perché soddisfa la definizione.
Silent
Average Member
Average Member
 
Messaggio: 579 di 651
Iscritto il: 23/02/2013, 15:40

Messaggioda j18eos » 25/03/2020, 12:21

Scusa: quali sono le nozioni di topologia che conosci? :?:

P.S.: ho capìto perché \(\displaystyle\phi_2\equiv0\)! :smt023
Ipocrisìa e omofobìa,
fuori da casa mia!

Semplicemente Armando. ;)
Avatar utente
j18eos
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 6633 di 6743
Iscritto il: 12/06/2010, 15:27
Località: Napoli, ed ogni tanto a Trieste ^_^

Re: Superfici k-dimensionali in $\mathbb{R}^n$: un primo esercizio

Messaggioda Silent » 25/03/2020, 14:09

Immagino che la risposta a questa domanda:

j18eos ha scritto:Scusa: quali sono le nozioni di topologia che conosci?


sia la definizione di k-manifold che ho scritto sopra, la definizione di diffeomorfismo e quella di omeomorfismo. Comunque forse ti può aiutare a ricevere una risposta sapere che sto studiando queste cose nel capitolo introduttivo all'analisi vincolata di massimi e minimi secondo Lagrange.
Silent
Average Member
Average Member
 
Messaggio: 580 di 651
Iscritto il: 23/02/2013, 15:40

Messaggioda j18eos » 25/03/2020, 18:18

Ora è tutto più chiaro...

In pratica, volevo farti notare che un punto taglia \(\displaystyle\mathbb{R}\) in due "pezzi", mentre \(\displaystyle S\setminus\{(0,0)\}\) è tagliato in quattro "pezzi"; per cui non possono essere omeomorfi e quindi non può essere una \(\displaystyle1\)-manifold.

Altrimenti, dovresti dimostrare brutalmente che \(\displaystyle rank J_{(\phi_1,\phi_2)}(0,0)=0\), ovvero non può invertire \(\displaystyle\phi_1\) in \(\displaystyle(0,0)\); ma questo lo trovo più complicato...

Se non sono stato chiaro: domanda pure! :wink:
Ultima modifica di j18eos il 25/03/2020, 18:23, modificato 1 volta in totale.
Ipocrisìa e omofobìa,
fuori da casa mia!

Semplicemente Armando. ;)
Avatar utente
j18eos
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 6635 di 6743
Iscritto il: 12/06/2010, 15:27
Località: Napoli, ed ogni tanto a Trieste ^_^

Re: Superfici k-dimensionali in $\mathbb{R}^n$: un primo esercizio

Messaggioda Silent » 25/03/2020, 18:20

Non riesco a formalizzare questa idea, mi puoi dare una spintina per favore?
Silent
Average Member
Average Member
 
Messaggio: 581 di 651
Iscritto il: 23/02/2013, 15:40

Re: Superfici k-dimensionali in $\mathbb{R}^n$: un primo esercizio

Messaggioda Silent » 25/03/2020, 18:21

Silent ha scritto:Niente, non ci arrivo, comunque riporto un ragionamento aggiuntivo che forse sono riuscito a tirare fuori.
Dicevamo, se per assurdo esiste una trasformazione di coordinate \(\displaystyle (x_1,x_2)\mapsto (\phi_1,\phi_2) \) che in un intorno dell'origine \(\displaystyle (x_1=0,x_2=0) \) riesca a descrivere l'insieme S così:

\(\displaystyle S:\left\{\begin{matrix} \phi_1=\phi_1(x_1,x_2)\\ \phi_2=\phi_2(x_1,x_2)=0 \end{matrix}\right. \)

vuol dire che, per definizione di S:

\(\displaystyle \phi_2(x,x)=\phi_2(x,-x)=\phi_2(-x,x)=\phi_2(-x,-x)=0 \)

per ogni \(\displaystyle x\in\mathbb{R} \) tale che \(\displaystyle (\pm x, \pm x)\in S\cap U((x_1=0,x_2=0)) \) e quindi, affinché l'intera trasformazione \(\displaystyle (x_1,x_2)\mapsto (\phi_1,\phi_2) \) sia biunivoca, deve succedere che \(\displaystyle \phi_1(\pm x,\pm x) \) fornisca sempre 4 valori diversi.

Da qui, ancora non riesco ad arrivare a un assurdo.


Quindi mi pare di capire che il ragionamento che ho riportato in questo messaggio non porta da nessuna parte, me lo confermi?
Silent
Average Member
Average Member
 
Messaggio: 582 di 651
Iscritto il: 23/02/2013, 15:40

Messaggioda j18eos » 25/03/2020, 18:27

Con \(\displaystyle J_{(\phi_1,\phi_2)}(0,0)\) intendo la matrice jacobiana della parametrizzazione da te scelta.
Ipocrisìa e omofobìa,
fuori da casa mia!

Semplicemente Armando. ;)
Avatar utente
j18eos
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 6636 di 6743
Iscritto il: 12/06/2010, 15:27
Località: Napoli, ed ogni tanto a Trieste ^_^

Re:

Messaggioda Silent » 25/03/2020, 19:06

j18eos ha scritto:
Altrimenti, dovresti dimostrare brutalmente che \(\displaystyle rank J_{(\phi_1,\phi_2)}(0,0)=0\), ovvero non può invertire \(\displaystyle\phi_1\) in \(\displaystyle(0,0)\); ma questo lo trovo più complicato...

Se non sono stato chiaro: domanda pure! :wink:

Probabilmente ora dico una cosa stupida, ma per il momento mi pare ragionevole.
Il teorema della funzione inversa, che immagino sia quello a cui stai facendo riferimento nella frase che ho quotato, non vale solo in un verso? (\(\displaystyle \implies \) ?)
Se ho rango massimo nella Jacobiana, posso invertire localmente la funzione. Se posso invertire localmente, non è detto che abbia rango massimo.

Per convincermi di questa cosa ho pensato a \(\displaystyle f(x)=x^3 \) in un intorno di \(\displaystyle x=0 \).

Quindi anche dimostrando che \(\displaystyle rank J_{(\phi_1,\phi_2)}(0,0)=0\) non potrei comunque concludere niente, o mi sbaglio?
Silent
Average Member
Average Member
 
Messaggio: 583 di 651
Iscritto il: 23/02/2013, 15:40

Messaggioda j18eos » 25/03/2020, 22:18

In effetti hai ragione: si ha solo una condizione sufficiente ma non necessaria...

Prova a ragionare col cambio di coordinate:
\[
\begin{cases}
x_1=y_1+y_2\\
x_2=y_1-y_2
\end{cases}
\]
dovresti concludere sùbito. :smt023

Oppure sbaglio? :?:
Ipocrisìa e omofobìa,
fuori da casa mia!

Semplicemente Armando. ;)
Avatar utente
j18eos
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 6638 di 6743
Iscritto il: 12/06/2010, 15:27
Località: Napoli, ed ogni tanto a Trieste ^_^

Re: Superfici k-dimensionali in $\mathbb{R}^n$: un primo esercizio

Messaggioda Silent » 25/03/2020, 23:09

Ma non è biunivoca, o mi sta sfuggendo qualcosa di profondo?
Silent
Average Member
Average Member
 
Messaggio: 584 di 651
Iscritto il: 23/02/2013, 15:40

PrecedenteProssimo

Torna a Geometria e algebra lineare

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 18 ospiti