Probabilmente mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua. Ma la giustificazione di un "senza perdita di generalità" mi sembra "invertita".
L'enunciato dell'esercizio è il seguente
Siano \( J_n = ]c_n,d_n[ \) tale che \[ ]a,b[ \subset [a,b] \subset \bigcup_{n=1}^{N} J_n \]
dimostra che
\[ b-a \leq \sum_{n=1}^{N} \operatorname{long}(J_n) \]
La giustificazione del correttore:
Possiamo supporre senza perdita di generalità che nessun \( J_n \) è incluso in un \(J_m \) infatti se togliamo \( J_n \) il risultato è ancora vero a fortiori. E possiamo supporre senza perdita di generalità che per tutti gli \(n \) abbiamo che \( J_n \cap [a,b] \neq 0 \). Infatti togliendolo il risultato è ancora vero.
Secondo me è logicamente più corretto dire
Possiamo supporre senza perdita di generalità che nessun \( J_n \) è incluso in un \(J_m \) infatti se aggiungiamo \( J_n \) il risultato è ancora vero a fortiori. E possiamo supporre senza perdita di generalità che per tutti gli \(n \) abbiamo che \( J_n \cap [a,b] \neq 0 \). Infatti aggiungendolo il risultato è ancora vero.
Insomma il ragionamento delle soluzioni mi sembra
Se \( J_n \subset J_m \) per qualche \(1 \leq n,m \leq N \) e per ipotesi
\[ b-a \leq \sum_{k=1}^{N} \operatorname{long}(J_k) \]
allora risulta vero anche
\[ b-a \leq \sum_{k=1, k \neq n }^{N} \operatorname{long}(J_k) \leq \sum_{k=1}^{N} \operatorname{long}(J_k) \]
Cosa che a priori potrebbe essere sbagliata. Perché potremmo avere
\[\sum_{k=1, k \neq n }^{N} \operatorname{long}(J_k)\leq b-a \leq \sum_{k=1}^{N} \operatorname{long}(J_k) \]
È corretto invece dire
Se \( J_n \subset J_m \) per qualche \(1 \leq n,m \leq N \) e per ipotesi
\[ b-a \leq \sum_{k=1, k \neq n}^{N} \operatorname{long}(J_k) \]
allora risulta vero anche
\[ b-a \leq \sum_{k=1, k \neq n }^{N} \operatorname{long}(J_k) \leq \sum_{k=1}^{N} \operatorname{long}(J_k) \]
Idem per il wlog relativo a \( J_n \cap [a,b] \neq \emptyset \).
Ho ragione? Se sì, sono troppo pignolo?