Quantità di moto ed energia cinetica

Messaggioda scontinino » 28/03/2020, 11:03

Ciao a tutti, cerco qualcuno che possa farmi capire un ragionamento che mi risulta un po' incomprensibile su appunti presi qualche tempo fa e che vorrei davvero capire. In particolare avrei tre domande che spero qualcuno mi possa gentilmente fugare, ci ragiono da un po' mada solo non ne esco.

Era un esempio fatto dal prof. dove si parlava di 3 corpi figli di una sorta di "esplosione" (una sorta di urto elastico con conservazione di energia cinetica, al contrario) immaginando un corpo unito che si divide in 3 parti. L'idea era avere un corpo A immensamente più grande degli altri due ela somma delle tre energie cinetiche è un certo valore k: $k=T_A+T_B+T_C$ e dice, immaginando che A è massivo e molto grande nel valore allora l'energia cinetica è trascurabile (questa è la prima domanda, perché se molto massivo ha energia cinetica trascurabile, in che modo più le masse sono simili tra loro più si ripartiscono equamente l'energia cinetica? Perché la mia idea è che seppure sia vero che un corpo molto grande che mettiamo urti uno piccolo subirà una minimavariazione della velocità, tuttavia l'energia cinetica è moltiplicata per m, quindi avendo massa grande dovrebbe compensarne la velocità minore)


DOpo questo primo dubbio, dice passando all'impulso: $|p_A|=|p_B+P_C|$, nel nostro caso era noto $p_A$,quindi scrive: $P_A^2/(2m_A)$ sulla formula non ci piove, però (ammesso di aver capito il primo dubbio sopra e sia l'energia cinetica trascurabile) domanda 2 se trascuro l'energia cinetica di A, perché NON posso trascurarne l'impulso rispetto alle altre due? Essendo l'impulso $m*v$ a me sembra che se posso trascurare $1/2m*v^2$ con un quadrato, a maggior ragione posso trascurare l'impulso di A rispetto a quelli di B e C essendo moltiplicato per v e non v^2.

Da qui poi giunge a $P_A^2/(2m_A)=T_(TOT)=T_B+T_C$ potendo trascurare, appunto, $T_A$

Più che l'esempio in sé vorrei capire il ragionamento su trascurare energia cinetica ma non impulso del corpo grande, nelle domande di cui sopra in veste generale. Vi ringrazio
Ultima modifica di scontinino il 28/03/2020, 21:02, modificato 1 volta in totale.
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Re: Impulso energia cinetica

Messaggioda mgrau » 28/03/2020, 11:20

Ti conviene pensare al caso di due corpi, più semplice ma che presenta gli stessi problemi.
Per es., il caso fucile/proiettile.
Lo sparo conserva la quantità di moto, per cui $m_pV_p + m_fv_f = 0$, quindi $v_f = v_p*m_p/m_f$ (segni a parte)
Come sono le energie cinetiche? $K_p = 1/2m_pv_p^2$; $K_f = 1/2m_fv_f^2 = 1/2m_fv_p^2*(m_p/m_f)^2$; da qui, $K_f /K_p =(m_p/m_f)^2$, ossia un valore molto piccolo. visto che $m_p/m_f$ è dell'ordine di $1/100$
Come vedi, le energie cinetiche si ripartiscono in modo molto disuguale, come il quadrato del rapporto delle masse, mentre le velocità si ripartiscono in modo meno disuguale, senza il quadrato.
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Re: Impulso energia cinetica

Messaggioda scontinino » 28/03/2020, 11:51

Giusto, perché il rapporto essendo $m_f>m_p$ sarà <1, ergo la funzione potenza con tale argomento e con esponente quadrato ($y'=(m_p/m_f)^2$) sta sotto la funzione lineare $y=m_p/m_f$. Questo è valido quindi fintanto che $m_p/m_f<1$ però appena mf<mp si ha il contrario, come giusto che sia. Come nota aggiuntiva mi pare anche che più il loro rapporto $m_p/m_f$ si avvicina a zero più la ripartizione di energia cinetica tra i due corpi torni ad avvicinarsi. https://www.wolframalpha.com/input/?i=y ... +y%3Dx%5E2 cioè il massimo scostamento di valori tra la lineare e la parabola si ha quando x=0,5 circa, più il rapporto tende a zero meno è trascurabile la differenza, quindi dovrei compiere un errore maggiore trascurando l'energia cinetica del fucile. Intuitivamente mi sembra strano devo sbagliare qualche considerazione :smt012



se giusto quanto ho detto mi resta un'altra domanda, anzi in realtà due, ma comincimo con una: mettiamo di avere due palline che si urtano M e m, sempre con ipotesi M>>m.
Mi piacerebbe capire quale sia la velocità finale del corpo di massa M dopo l'urto centrato, noto l'impulso iniziale dei due corpi.
Perché ho pensato che essendo $MV+mv=A$ dopo l'urto $MV'+mv'=A$ => $V'=(A-mv')/M$

Potrei se no usare la conservazione della quantità di moto posso usare il teorema dell'impulso? cioè: $p=\int F*dt$ e da p trovare v. Però non ho la quantitàdi tempo su cui integrare.

Mille grazie.
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Re: Impulso energia cinetica

Messaggioda mgrau » 28/03/2020, 12:12

scontinino ha scritto:[...] il massimo scostamento di valori tra la lineare e la parabola si ha quando x=0,5 circa, più il rapporto tende a zero meno è trascurabile la differenza, quindi dovrei compiere un errore maggiore trascurando l'energia cinetica del fucile. Intuitivamente mi sembra strano devo sbagliare qualche considerazione :smt012
Secondo me, stai facendo confusione fra differenza e rapporto.
Se guardi al massimo scostamento fra retta e parabola guardi la differenza, ma la differenza non ha un gran significato, è il rapporto che conta.



scontinino ha scritto:mettiamo di avere due palline che si urtano M e m, sempre con ipotesi M>>m.
Mi piacerebbe capire quale sia la velocità finale del corpo di massa M dopo l'urto centrato, noto l'impulso iniziale dei due corpi.

Il modo più semplice è quello di mettersi nel sistema di riferimento del centro di massa, in cui le due biglie hanno velocità opposte inversamente proporzionali alle masse. Dopo l'urto centrale, le velocità di entrambe semplicemente si invertono
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Re: Impulso energia cinetica

Messaggioda scontinino » 28/03/2020, 12:28

mgrau ha scritto:
scontinino ha scritto:[...] il massimo scostamento di valori tra la lineare e la parabola si ha quando x=0,5 circa, più il rapporto tende a zero meno è trascurabile la differenza, quindi dovrei compiere un errore maggiore trascurando l'energia cinetica del fucile. Intuitivamente mi sembra strano devo sbagliare qualche considerazione :smt012
Secondo me, stai facendo confusione fra differenza e rapporto.
Se guardi al massimo scostamento fra retta e parabola guardi la differenza, ma la differenza non ha un gran significato, è il rapporto che conta.


Non sto guardando la differenza tra andamento parabolico e lineare? Perché se i rapporti delle k diventano simili ai rapporti delle v vuol dire che se trascuro k devo anche trascurare v, e questo succede al limite di x=1, insomma più la differenza è grande meno errore faccio a trascurare una k e mantenere entrambe le v, però più la differenza tra i rapporti cala, cioè più sono vicini dato che non posso mai trascurare l'impulso (quindi v) di uno dei due corpi, essendo il rapporto delle v uguale anche al valore del rapporto delle cinetiche non posso più trascurare una delle due k: commetterei il medesimo errore di trascurare un impulso (hanno lo stesso valore!). Nello specifico:

Pongo: $x=(m_p/m_f)$ quindi noto che più x si avvicina a 1 (le masse diventano via via più simili tra loro fino a eguagliarsi) meno diventa trascurabile la differenza tra andamento parabolico e quello lineare di x, quindi il rapporto $k_f/k_p$ (parabolico) diventa via via più simile a $v_f/v_p$ (lineare) => non posso più trascurare la ripartizione di energia cinetica sul corpo di massa grande: l'etichetta massa grande infatti è diventato uguale a massa piccola. Ma questo avviene anche spostandosi verso lo zero sotto il valore di x=0.5 (strano!), cioè per assurdo più la massa diventa troppo piccola più trascurare la cinetica di quella più pesante più ha errore.

Per il secondo punto a cui mi hai risposto nel mentre avevo pensato una cosa, che mi lascia perplesso:
Siccome l'urto delle due palline di cui sopra l'ho ipotizzato elastico, mettiamo M sia ferma e m impatti, vale allora

sia $mv'+MV'=mv$ (cons. quantità di moto)

che $1/2MV'^2+1/2mv'^2=1/2mv^2$ (cons.energia) ove V' v' con apici sono dopo l'urto e V=0 prima dell'urto

Dunque deve valere sia $V'=(m(v-v')/M)$ che $V'=sqrt(((m(v^2-v'^2))/M)$ cioè mi accorgo che solo alcuni valori in modulo di v' e V' sono permessi, non sono distribuiti in un continuo di valori (per fissate m ed M). Che strano, ma è giusto? :)
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Re: Impulso energia cinetica

Messaggioda mgrau » 28/03/2020, 14:16

Sulla prima qustione non capisco assolutamente niente di quel che vuoi dire.
Noto che parli vdi "trascurare" questo e quello, ma in realtà non c'è bisogno di trascurare proprio niente, sono problemi che si possono perfettamente risolvere. Se poi riesci a concretizzare i tuoi dubbi su un esempio specifico, se ne può parlare.
Sul secondo punto, intanto non mi è chiaro se parli di urto centrale o no. Se sì, i valori di $v'$ e $V'$ perchè mai dovrebbero avere uno spettro continuo? Hanno un valore solo, nemmeno "alcuni" valori, proprio uno solo.
Se si parla di urto non centrale allora le relazioni diventano vettoriali e i valori di uscita variano in modo continuo in funzione della distanza fra le due traiettorie, ma la trattazione è più complicata.
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Re: Impulso energia cinetica

Messaggioda scontinino » 28/03/2020, 18:02

Sul secondo parlavo di urto centrale, anzi immaginavo proprio punti geometrici e urto molto semplificato con le formule di cui sopra. E in effetti come dici dovrebbe essere solo un valore.

Sul primo, invece, stavo facendo un ulteriore passo in avanti. Perché nel caso dei tre corpi il prof parlava di trascurare l'energia cinetica del corpo grande ma non il suo impulso (ossia vedere il sistema di tre corpi come costituito come solo due corpi portanti tutta l'energia cinetica e un terzo di energia cinetica trascurabile e tre corpi dotati di tre impulsi: l'impulso di quello grande non è trascurabile, quindi ne ho tre, anche se Ekin lo è quindi ho semplificato un urto tenendo olo due energie cinetiche anziché 3), e ha detto che alcune volte è utile farlo. Con la tua spiegazione a due corpi, volevo provare a compiere tale semplificazione sull'energia cinetica e trascurarlaperun corpo 8il fucile) e avevo in effetti notato che il rapporto $x=(mp)/(mf)$ rappresenta (quando elevato al quadrato) il rapporto kf/kp, cioè si nota che kf è sicuramente più piccolo di kp essendo piccolo il loro rapporto. Inoltre anche vf è più piccolo di vp dal rapporto. Il punto è che essendo il rapporto delle cinetiche funzione del tipo $x^2$ si vede che il rapporto delle velocità al quadrato sta sempre sotto al valore del rapporto delle velocità. Quindi kf è trascurabile rispetto a kp primadi quando vf sia trascurabile rispetto a vp.
La cosa strana, però, è che notavo come a 0.5 fosse massima la distanza tra x e x^2, questo vul dire che in quel dato punto kf è minore di kp, così come anche vf è minore di vp e lo scostamento dei rapporti è massimo. Però avvicinandomi a zero di x, kf rimane più piccola di kp è vero, tuttavia si avvicina al rapporto di vf/vp, quindi trascurare kf è un po' sbagliato per valori vicini allo zero nel rapporto, perché anche vf/vp si avvicina a kf/kp.Insomma dove ho la forbice massima tra x^2 e xmi pare che sia il punto dove compio meno errore a trascurare kf e non trascurare vf, più la forbice si stringe più i valori kf/kp e vf/vp diventano simili e questo vuol dire che trascurare kf nei confronti di kp diventi un errore, avendo lo stesso diritto di non essere trascurato quanto vf nei confronti di vp.
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Re: Impulso energia cinetica

Messaggioda mgrau » 28/03/2020, 19:41

Facciamo un caso numerico:
Con rapporto di masse = 1:
$M_1 = M_2$
$v_1 = v_2$
$K_1 = 1/2M_1v_1^2 = 1/2M_2v_2^2 = K_2$
Con rapporto di masse = 0.5:
$M_1 = 2M_2$
$v_1 = 1/2v_2$
$K_1 = 1/2M_1v_1^2 = M_2*1/4v_2^2 = 1/2*1/2M_2v_2^2 = 1/2K_2$
Con rapporto di masse = 100:
$M_1 = 100M_2$
$v_1 = 1/100v_2$
$K_1 = 1/2M_1v_1^2 = 50M_2*1/10000v_2^2 = 1/100*1/2M_2v_2^2 = 1/100K_2$

Dal che si ricava che nella mia prima risposta ti ho detto una fesseria (c'era un errore di calcolo), perchè il rapporto delle energie cinetiche non va come il quadrato del rapporto (inverso) delle masse, ma come il rapporto semplice, proprio come le velocità.
Resta il fatto che il rapporto 0.5 non ha proprio niente di speciale.
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Re: Impulso energia cinetica

Messaggioda scontinino » 28/03/2020, 20:58

Cavolo, che stupido sono! Hai ragione... possibile non l'abbia visto.

Però il punto permane, intendo dire: perché il prof sostiene di poter trascurare una energia cinetica di un corpo massivo ma non posso trascurare la sua quantitàdi moto?

Se infatti le velocità vanno allo stesso modo delle energie cinetiche trascurare una energia cinetica k1 perché 1/100 di k2, mi fa fare lo stesso errore di trascurare la quantità di moto mv1 poiché 1/100 di mv2 mi fa compiere lo stesso tipo di errore. Non riesco a capire questa sua divagazione.

A me sembra, che andando allo stesso modo, ogni votla che posso trascurare una possotrascurare l'altra e di contro, se non posso trascurare una nemmeno posso trascurare l'altra quantità.
Ultima modifica di scontinino il 28/03/2020, 21:13, modificato 1 volta in totale.
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Re: Impulso energia cinetica

Messaggioda mgrau » 28/03/2020, 21:09

scontinino ha scritto:Se infatti le velocità vanno allo stesso modo delle energie cinetiche trascurare una energia cinetica k1 perché 1/100 di k2, mi fa fare lo stesso errore di trascurare la quantità di moto mv1 poiché 1/100 di mv2 mi fa compiere lo stesso tipo di errore. Non riesco a capire questa sua divagazione.

No, non confondere velocità e quantità di moto: le QM sono indipendenti dal rapporto delle masse...
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