Derivata e dominio funzione.

[Maggioriano]

Salve ragazzi.
In vista di un prossimo esame universtiario, mi verrà chiesto di calcolare, grosso modo, la derivata ed il dominio di una funzione come questa:

- 2x^3 + 6 e^x + log10 (x^3-5).

Ora, procedendo con le mie conoscenze, già al logaritmo mi blocco, poichè credo (e qui chiedo conferma) che vada operato un cambio di base.
Per quanto riguarda il Dominio in R, ho svolto l'esercizio nel seguente modo:

-2x^3 definito in tutto R, poichè è un polinomio.

-e^x definito anch'esso in tutto R, poichè l'esponenete di "e" è un polinomio.

- per il logaritmo in base 10 ho impostato l'argomento >0, che svolto viene x^3 > 5.

Quindi il dominio in R sarebbe x^3>5. Tuttavia non è corretto lasciare la variabile elevata al cubo.
Come posso procedere per riportarla al primo grado?

Grazie in anticipo a chi risponderà.

[pilloeffe]

Ciao Maggioriano,

Benvenuto sul forum!

Se ho ben capito la funzione proposta è la seguente:

$ y = f(x) = 2x^3 + 6 e^x + log_10 (x^3-5) $

poichè credo (e qui chiedo conferma) che vada operato un cambio di base.

Beh, non necessariamente: puoi anche tenerti il $log_10 $ se vuoi...

- per il logaritmo in base 10 ho impostato l'argomento >0, che svolto viene x^3 > 5.

Quindi il dominio in R sarebbe x^3>5. Tuttavia non è corretto lasciare la variabile elevata al cubo.
Come posso procedere per riportarla al primo grado?

Semplice: $x > root[3]{5} $
Pertanto il dominio della funzione proposta è $D = (root[3]{5}, +\infty) $
Per quanto concerne la derivata prima prova...
Dovresti trovare:

$ y' = 3 x^2 [1/((x^3 - 5) ln10) + 2] + 6 e^x $

Tale derivata risulta sempre positiva in $D$, pertanto la funzione proposta è sempre crescente.

[Maggioriano]

Ciao Pilloeffe!

Mi scuso in anticipo per il colossale ritardo con cui sto riprendendo questo post, ma essendo stato assorbito anche dall'esame di Fisica che sto preparando, avevo momentaneamente accantonato matematica.

Dunque.
Per cominciare si, la derivata era esattamente quella che avevi riscritto tu.

Poi, non operando il cambio base, e basandomi sulla tua risoluzione, si potrebbe sintetizzare il tutto con la seguente espressione?

log10 (a) = 1/[ln(10)*(a)]. Corretto?

Per quanto riguarda il Dominio invece, rileggendolo ora a distanza di un mese, mi accorgo che ero capace di risolverlo ma essendomi lasciato trasportare dal momento avevo mollato in partenza.

Comunque grazie per la risposta!
Non ho ancora dato l'esame ma mi è tornata molto utile.

[pilloeffe]

Comunque grazie per la risposta!

Prego!

log10 (a) = 1/[ln(10)*(a)]. Corretto?

No, mi sa che è scritto male...
Si ha:

$ ln10 \cdot log_10 e = 1 \implies 1/(ln10) = log_10 e $

Quindi se proprio non ti piace l'espressione della derivata col logaritmo naturale puoi sempre sostituirlo col logaritmo decimale ottenendo in tal modo

$ y' = 3 x^2 [(log_10 e)/(x^3 - 5) + 2] + 6 e^x $

[Maggioriano]

Dunque, ricapitolando i casi.

Se ho una derivata con ln(x) o con log(x), la formula risolutiva è: y' = 1/x.

Se invece devo calcolarmi una derivata in cui la primitiva sia y=log(base 10) di (x), la formula risolutiva sarà:

y' = [log(base10) di "e"]/[x] volendo esprimerla con nepero.

Se invece vorrò esprimerla in decimale, avrò:

y' = [1] / [log(base10) di (x)].

Correggimi se sbaglio almeno metto ordine nella mia testa una volta per tutte

[gugo82]

Ti sembra che le due formule scritte esprimano la stessa funzione?

[Maggioriano]

Ti sembra che le due formule scritte esprimano la stessa funzione?

Potresti essere più esplicito?

[gugo82]

Più esplicito dici... Vediamo.

Questa:

y' = [log(base10) di "e"]/[x]

e questa:

y' = [1] / [log(base10) di (x)].

sono la stessa funzione?

[Maggioriano]

Più esplicito dici... Vediamo.

Questa:

y' = [log(base10) di "e"]/[x]

e questa:

y' = [1] / [log(base10) di (x)].

sono la stessa funzione?

Il punto è proprio questo.
Non ne sono sicuro.
Stavo chiedendo conferma se è possibile risolvere una primitiva y=[log(base10)di(x)] esplicitandola in forma decimale y' = [1] / [log(base10) di (x)] o con nepero [log(base10) di "e"]/[x].

[axpgn]

Ma non sono la stessa funzione!
Non è una questione di basi ma sono proprio due cose diverse.
Senza fare nessun conto si vede immediatamente che non hanno lo stesso dominio.