punti di minimo, massimo e sella funzioni in due variabili

[Aletzunny]

ma usando questa definizione (sbaglio di certo io) non mi trovo con la risoluzione dei due esercizi e soprattutto non capisco perchè è cosi importante che $f(0,0)=(0,0)$

Grazie

[anonymous_0b37e9]

In entrambi i casi, poiché $f(0,0)=0$ e, in un qualsiasi intorno dell'origine, la funzione assume valori di segno opposto, l'origine non può essere né un minimo, né un massimo. Ergo, l'origine è necessariamente un punto di sella.

[Aletzunny]

In entrambi gli esercizi, poiché $f(0,0)=0$, l'origine è sicuramente un punto di sella. Infatti, nel primo esercizio:

Asse x

$\{(-sqrt2 lt= x lt= sqrt2),(y=0):} rarr f(x,0)=x^2(x^2-2) lt= 0$

Asse y

$\{(x=0),(-sqrt2 lt= y lt= sqrt2):} rarr f(0,y)=y^2(y^2-2) lt= 0$

Bisettrice 1° e 3° quadrante

$y=x rarr f(x,x)=2x^4 gt= 0$

e nel secondo:

Bisettrice 2° e 4° quadrante

$y=-x rarr f(x,-x)=x^5 rarr \{(x lt 0 rarr f(x,-x) lt 0),(x gt 0 rarr f(x,-x) gt 0):}$

Insomma, in un qualsiasi intorno dell'origine, in cui la funzione è nulla, quest'ultima assume valori opposti.

P.S.
Ovviamente, nel primo esercizio è sufficiente l'analisi lungo uno solo dei due assi.

nel secondo esercizio usando $y=x$ troviamo una funzione con un minimo in $x=0$ mentre la seconda con $y=-x$ troviamo $y=x^5$ che non ha nè un minimo nè un massimo in $0$. Ma se $x>0$ allora $f$ è positiva e se $x<0$ allora $f$ è negativa.
Ma perchè allora posso dire che $(0,0)$ non è estremante per $f(x,y)$ ?

allo stesso modo non capisco il ragionamento fatto nel primo esercizio. perchè usando l'asse $x$ e l'asse $y$ e risolvendo la disequazione si riesce a dire che $(0,0)$ non è estremante?

questi aspetti non mi sono chiari

[anonymous_0b37e9]

Ti rispondo proponendo l'esempio più semplice:

$f(x,y)=xy$

Premesso che l'origine è un punto critico, puoi provare a classificarlo senza utilizzare la matrice Hessiana.

[Aletzunny]

Ti rispondo proponendo l'esempio più semplice:

$f(x,y)=xy$

Premesso che l'origine è un punto critico, puoi provare a classificarlo senza utilizzare la matrice Hessiana.

$y=x$ ottengo $f(x,x)=x^2$ che ha un minimo in $x=0$.

$y=-x$ ottengo $f(x,-x)=-x^2$ che ha un massimo in $x=0$

dunque $(0,0)$ è un punto di sella.
cosi intendi?

[anonymous_0b37e9]

... e soprattutto non capisco perché è cosi importante che $f(0,0)=0$ ...

Proprio perché:

$[f(x,y)=xy] rarr [f(0,0)=0]$

1° e 3° quadrante

$[f(x,y)=xy] rarr [f(x,y) gt 0]$

2° e 4° quadrante

$[f(x,y)=xy] rarr [f(x,y) lt 0]$

l'origine è un punto di sella. Insomma, poiché, in un qualsiasi intorno dell'origine, la funzione assume valori sia minori che maggiori del valore assunto dalla funzione nell'origine medesima, almeno in questo caso non è necessaria alcuna restrizione.

[Aletzunny]

... e soprattutto non capisco perché è cosi importante che $f(0,0)=0$ ...

Proprio perché:

$[f(x,y)=xy] rarr [f(0,0)=0]$

1° e 3° quadrante

$[f(x,y)=xy] rarr [f(x,y) gt 0]$

2° e 4° quadrante

$[f(x,y)=xy] rarr [f(x,y) lt 0]$

l'origine è un punto di sella. Insomma, poiché, in un qualsiasi intorno dell'origine, la funzione assume valori sia minori che maggiori del valore assunto dalla funzione nell'origine medesima, almeno in questo caso non è necessaria alcuna restrizione.

Ma non ho capito come deduci che $f(x,y)>0$ nel primo e terzo quadrante e $<0$ nel quarto e secondo quadrante.
Grazie

[anonymous_0b37e9]

Ma non ho capito come deduci che ...

Stai scherzando? Perdonami ma, se veramente non riesci a capirlo da solo, significa che non hai la minima idea di cosa sia, intuitivamente, una funzione di due variabili.

[Aletzunny]

Ma non ho capito come deduci che ...

Stai scherzando? Perdonami ma, se veramente non riesci a capirlo da solo, significa che non hai la minima idea di cosa sia, intuitivamente, una funzione di due variabili.

Seriamente!non riesco ad immaginare la funzione nel piano.
Per quello spesso mi blocco sugli esercizi.
Come dovrei intuitivamente pensarla?

[GThano96]

A me hanno insegnato a fare cosi:
quando il determinante dell'Hessiana è uguale a zero non classifica il punto esaminato quindi ,bisogna studiare l'intorno di $f(x,y) $ nei punti trovati, cioè:

$ f(x,y)>=f(x_0, y_0) $ quindi $ f(x,y) - f(x_0, y_0)>=0 $
se studiando il segno di questa disequazione trovo attorno il punto interessato un intorno solamente negativo allora sara punto di massimo, al contrario punto di minimo, se l'intorno è sia positivo che negativo allora è un punto di sella.

NB:
$ f(x_0, y_0) $ può essere uguale a $ 0 $ oppure una costante $ C $
nel caso sia una costante, dovrò studiare il segno della funzione $f(x,y)-C>=0 $; il punto$ f(x_0, y_0)$ stazionario per $f(x,y)$, sarà stazionario anche per $f(x,y)-c $ cambia solo una variazione di "quota"