Aiuto problema dinamica

[Shackle]

LA soluzione si trova applicando la seconda eq della dinamica alla massa $m$ , che può scivolare senza attrito lungo l’asta inclinata di $alpha$ rispetto alla verticale (vedi figura allegata). La massa $m$ è soggetta a due forze:

1) la forza peso $mvecg$ , verticale e diretta verso il basso

2) la reazione normale dell’asta $vecN$, che non essendoci attrito tra massa ed asta è perpendicolare all’asta.

La seconda eq della dinamica di che, rispetto a un osservatore inerziale, deve essere :

$mveca_c = mvecg + vecN$

in cui $veca_c $ è l’accelerazione centripeta, diretta radialmente verso l’asse di rotazione. Proiettando questa eq vettoriale sui due assi, si ha :

$mdomega^2 = N cosalpha$
$mg = Nsenalpha$

da cui si trova che : $ d = g/(omega^2tgalpha)$ m e quindi la distanza OA vale : $ OA = (gcosalpha)/(omega^2$

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

[AndretopC0707]

Quindi lcos alfa?
Ma perché lungo l’asta?
Potresti gentilmente spiegarmelo?

[Shackle]

Ma hai capito la soluzione che ti ho scritto, e il disegno? La reazione $vecN$ dell’asta su $m$ , che è perpendicolare all’asta in quanto non c’è attrito, deve avere il componente verticale uguale, in modulo, al peso : $mg =Nsenalpha$. Resta quindi determinato il modulo $N$ di questa reazione. Il componente orizzontale di $vecN$ è la forza centripeta, quindi: $ mdomega^2=Ncosalpha$.
Poi è solo algebra, per trovare la distanza $d$ dall’asse a cui deve trovarsi $m$ perché siano soddisfatte le equazioni scritte.

[AndretopC0707]

Grazie

[AndretopC0707]

Un’ultima cosa, la reazione vincolare dell’asta a cosa è dovuta e perché è messa così?

[Shackle]

L’asta è il vincolo della massa m , perché la massa è “vincolata" a scorrere sull’asta stessa. L’asta trascina la massa in rotazione. Se l’asta non ruotasse, inizialmente la massa starebbe in $O$ . Quando l’asta inizia a ruotare , la massa si sposta verso l'alto lungo l’asta perché tende ad allontanarsi dall’asse di rotazione verticale. LA reazione è perpendicolare all’asta in quanto nel vincolo “di scorrimento” non c’è forza di attrito tra la massa m e l’asta. Se ci fosse attrito, la reazione $vecR$ avrebbe , oltre al componente normale $vecN$ , anche un componente tangenziale $vecA$ , uguale alla residenza di attrito tra massa e asta.

[mgrau]

Se l’asta non ruotasse, inizialmente la massa starebbe in $O$ . Quando l’asta inizia a ruotare , la massa si sposta verso l'alto lungo l’asta perché tende ad allontanarsi dall’asse di rotazione verticale.

No, questo non va bene.
Intanto, se la massa sta in $O$ non si sposterà mai.
E anche se non sta inizialmente in $O$ non si sposta verso l'esterno fino a che la velocità angolare non raggiunge il valore critico, quello per cui il peso uguaglia la forza centripeta (cioè, le componenti lungo l'asta).
Questo è un punto di equilibrio instabile: un qualsiasi spostamento fa collassare la massa verso il centro, ovvero la fa schizzare fuori.
Insomma, se inizialmente la massa non sta sull'asse, all'aumentare della rotazione la massa non si muove, fino a che a un certo punto schizza via.
Questo se l'asta è diritta: se avesse invece una forma parabolica, allora sarebbe come dici tu: maggiore $omega$, maggiore distanza.

[Shackle]

Una massa costituita da un blocchetto di materia non può stare fisicamente a distanza zero in $O$ dall’asse di rotazione. La distanza fisica è comunque >0 .

[mgrau]

Una massa costituita da un blocchetto di materia non può stare fisicamente a distanza zero in $O$ dall’asse di rotazione. La distanza fisica è comunque >0 .

Ok. Allora leggi la frase successiva.

[Shackle]

Tu invece leggi il testo dell’esercizio, la velocità angolare $omega$ è assegnata. Non stiamo parlando di rotazione che inizia da zero e prosegue con velocità angolare crescente. E dai un’occhiata al mio disegno, se ti va. Altrimenti lascia perdere.