No tranquillo, non sono così sadico da chiederti tutti quei conti
Sì, anche se molto più semplicemente: per la (2) se $|x-y|=0$ per le proprietà del modulo questo è vero se e solo se $x-y=0$ e dunque concludi (questo diciamo che lo deduci da conoscenze pregresse, che sostanzialmente si dimostrano come hai fatto tu ma a questo livello puoi omettere).
Per la (3) invece basta notare che $|x-y|=|-(y-x)|=|-1|\cdot|y-x|=|y-x|$ (che continua a valere anche col quadrato), sempre invocando le conoscenze pregresse sul modulo.
Per la (4) non so se sono stato chiaro: in pratica la relazione $|x-y|^2 \leq |x-z|^2+|z-y|^2$ deve valere per ogni $x,y,z \in \mathbb{R}$, dunque per confutarla basta esibire almeno tre valori $x,y$ e $z$ per cui non vale.
A spoon can be used for more than just drinking soup. You can use it to dig through the prison you're locked in, or as a weapon to gouge the witch's eyes out. Of course, you can also use the spoon to continually sip the watery soup inside your eternal prison.