Studio di funzione a due variabili

[GThano96]

Salve Ragazzi,
ho la funzione $ f(x,y)=x^2y^2-yln(x) $ e devo trovare massimi/minimi relativi e assoluti.
Il procedo così:
1) Calcolo il gradiente della funzione e le pongo uguale a zero trovando i punti stazionari della funzione:
$ gradf(x,y)=(0,0) -> { ( 2xy^2-y/x=0 ),( 2x^2y-ln(x)=0 ):} $ da cui ottengo->
$->P(1)={ ( x=e ),( y=1/(2e^2) ):} $ e $ P(2)={ ( x=1 ),( y=0 ):} $
2) Costruisco la matrice Hessiana con le derivate seconde e calcolo il determinante:
$He(x,y)= [ ( 2y^2+y/x^2 , 4xy-1/x ),( 4xy-1/x , 2x^2 ) ] $ da cui semplificando $det|He(x,y)|=10y-8x^2y^2-1/x $
3) Studio l'Hessiana nei punti precedentemente trovati e trovo che:
in $P(1)-> det|He(e, 1/(2e^2))| = 2/e^2$ che è $>0$ e ha autovalori positivi, quindi P(1) punto di Minimo Relativo
in $P(2)-> det|He(1,0)|= -1$ che essendo $<0$ é sicuramente un punto di sella per $f(x,y)$
4) Non trovando massimi relativi tra i punti stazionari, (per il teorema di Fermat??), concludo dicendo che la funzione non ammette massimi relativi/assoluti, quindi la funzione è superiormente illimitata.
5)Ma il minimo relativo che ho trovato è anche assoluto? Se la funzione è inferiormente illimitata allora il minimo trovato è solamente relativo; per dimostrarlo provo con il metodo delle rette, cioè restringo la funzione per rette o parabole, e calcolo il limite tendente a meno infinito della restrizione tentando di ottenere come risultato del limite meno infinito.

Inserendo la funzione nel calcolatore mi dice che è sia superiormente che inferiormente illimitata ma il mio problema è che non riesco a trovare una restrizione per la quale il limite dia come risultato meno infinito.
DOMANDA:
Se non riesco a trovare una restrizione per la quale il limite va a meno infinito esiste un'altro metodo per studiare il punto stazionario trovato?? Se si, potreste illustrarmelo??

grazie mille in anticipo!!!

[anonymous_0b37e9]

Se non riesco a trovare una restrizione per la quale il limite ...

$[y=k] ^^ [k lt 0] rarr [f(x,k)=k^2x^2-klnx] ^^ [lim_(x->0^+)k^2x^2-klnx=-oo]$