Guscio sferico con distribuzione di carica variabile

[DeltaEpsilon]

La distribuzione di carica è costituita da un guscio sferico riempito da una carica con densità di carica volumica a simmetria sferica e andamento $ρ(r)= ρ0 r/R_1$ con $R_1<r<R_2$
Determinare:

1) Il valore del parametro $ρ0$ affinchè la carica totale contenuta nel guscio sia pari a $Q = 5\cdot 10^-9C$
2) L’espressionedel campo elettrostatico in tutto lo spazio
3) Il valore del potenziale elettrostatico sul guscio esterno, ossia per $r=R_2$, avendo posto come potenziale di riferimento il potenziale al centro del guscio uguale a zero



Primo punto
Considero il volume della regione non-vuota $Vol = 4/3 \pi (R_2^3 - R_1^3)$

e la densità di carica totale, cioè dove $r=R_2$ e quindi $\rho = \rho_0 R_2/R_1$

Sapendo che $Q = \rho \cdot Vol$ ricavo con semplici passaggi algebrici $\rho_0$

E' giusto?

Secondo punto
Il campo elettrico è nullo nella regione vuota, cioè per $0<r<R_1$

Invece per $r > R_2$ il campo elettrico è come quello prodotto da una carica puntiforme di carica $Q$

Ma per $R_1<r<R_2$ qual è l'andamento del campo?

Terzo punto
Non saprei come procedere... so però che il potenziale è uniforme nella cavità del conduttore, essendo nullo il campo...

Grazie in anticipo!

[mgrau]

Primo punto
Considero il volume della regione non-vuota $Vol = 4/3 \pi (R_2^3 - R_1^3)$

e la densità di carica totale, cioè dove $r=R_2$ e quindi $\rho = \rho_0 R_2/R_1$

Sapendo che $Q = \rho \cdot Vol$ ricavo con semplici passaggi algebrici $\rho_0$

E' giusto? No, la densità di carica non è costante, devi usare un integrale

Secondo punto
Il campo elettrico è nullo nella regione vuota, cioè per $0<r<R_1$

Invece per $r > R_2$ il campo elettrico è come quello prodotto da una carica puntiforme di carica $Q$

Ma per $R_1<r<R_2$ qual è l'andamento del campo? A distanza $r$ il campo è quello che ci sarebbe, a quella distanza, con una carica puntiforme nel centro corrispondente alla quantità di carica a distanza dal centro $<= r$ (Insomma, la carica che sta "sotto")

Terzo punto
Non saprei come procedere... so però che il potenziale è uniforme nella cavità del conduttore, essendo nullo il campo...Il potenziale lo trovi integrando il campo che hai trovato nel punto 2 da $R_1$ a $R_2$

[DeltaEpsilon]

No, la densità di carica non è costante, devi usare un integrale

$ Vol = 4/3 \pi (r^3 - R_1^3) $

$dQ = \rho \cdot dV = \rho_0 r/R_1 \cdot 4/3 3 r^2 = 4\pi \rho_0 / R_1 r^3 dr$

integrando da $R_1$ a $R_2$ si ha $Q = \frac{\pi \rho_0}{R_1} (R_2^4 - R_1^4)$

dove si deve imporre $Q = 5 \cdot 10^{-9} C$ e ricavare $\rho_0$ ... giusto?

A distanza $ r $ il campo è quello che ci sarebbe, a quella distanza, con una carica puntiforme nel centro corrispondente alla quantità di carica a distanza dal centro $ <= r $

Dunque devo trovare la carica totale del guscio sferico da $R_1$ a $r$ e allora si avrà $\vec{E} = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r^2}$

Ma per la carica totale, come devo muovermi se non conosco $\rho_0$?

Nel primo punto ho supposto fosse $5\cdot 10^-9 C$ e solo dopo ho ricavato $\rho_0$

[mgrau]

si ha $Q = \frac{\pi \rho_0}{R_1} (R_2^4 - R_1^4)$

dove si deve imporre $Q = 5 \cdot 10^{-9} C$ e ricavare $\rho_0$ ... giusto? Giusto


[...]
Dunque devo trovare la carica totale del guscio sferico da $R_1$ a $r$ e allora si avrà $\vec{E} = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r^2}$

Ma per la carica totale, come devo muovermi se non conosco $\rho_0$? Ma non l'hai già trovato $rho_o$ ?

[DeltaEpsilon]

Ma non l'hai già trovato $rho_o$ ?

Si, ma lo avevo trovato supponendo $Q = 5\cdot 10^-9 C$ come carica totale nel primo punto

Dunque pensavo che nel secondo punto questa imposizione non dovesse valere più