Dubbio variabili di integrazione

[TS778LB]

Detto $ \vecr_0 $ il vettore che individua la posizione di un punto $ P $ , ed $ \vecr $ quello individuante la posizione di una carica elettrica infinitesima $ dq $, per i campi prodotti da distribuzioni volumiche, superficiali e lineari di carica si ha:
$ \vecE(\vecr_0)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}int_\tau\rho(\vecr)\frac{\vecr_0-\vecr}{|\vecr_0-\vecr|^3}d\tau $
$ \vecE(\vecr_0)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}int_\Sigma\sigma(\vecr)\frac{\vecr_0-\vecr}{|\vecr_0-\vecr|^3}d\Sigma $
$ \vecE(\vecr_0)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}int_\lambda\lambda(\vecr)\frac{\vecr_0-\vecr}{|\vecr_0-\vecr|^3}dl $.
Quando ne esprimo le coordinate cartesiane opero le sostituzioni $ \d\tau=dxdydz $, $ \d\Sigma=dxdy $ e $ \dl=dx $ ma le funzioni di densità continuano ad essere funzioni delle tre variabili $ x,y,z $. Ad esempio
$ E_x(x_0,y_0,z_0)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}int_\Sigma\sigma(x,y,z)\frac{x_0-x}{((x_0-x)^2+(y_0-y)^2+(z_0-z)^2)^\frac{3}{2}}dxdy $
Questo non significherebbe integrare solo su x e y non comprendendo la dipendenza di $ \sigma $ e di $ \vecr $ da z?
Premetto che non ho conoscenze di analisi 2.

[TS778LB]

Quando ne esprimo le coordinate cartesiane opero le sostituzioni $ \d\tau=dxdydz $, $ \d\Sigma=dxdy $ e $ \dl=dx $

Forse è qui che sbaglio! Imporre $ \d\Sigma=dxdy $ e $ \dl=dx $ significa considerare il caso particolare di superficie piana e linea retta contestualizzate in riferimenti in cui il piano xy coincide con la distribuzione superficiale e in cui l'asse x coincide con quella lineare.
Nel caso più generale avevo pensato di esprimere il $ \dl$ in questo modo:
$ dl=sqrt{dx^2+dy^2+dz^2} $
Il che mi porterebbe a:
$ E_x(x_0,y_0,z_0)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}int_\l\lambda(x,y,z)\frac{x_0-x}{((x_0-x)^2+(y_0-y)^2+(z_0-z)^2)^\frac{3}{2}}sqrt{dx^2+dy^2+dz^2} $
E' corretto formalmente?
Se si come si può esprimere $ \d\Sigma $ in coordinate cartesiane?

[pilloeffe]

Ciao TS778LB,

Se si come si può esprimere $\text{d}\Sigma $ in coordinate cartesiane?

Mentre per l'elemento di linea ci sei già arrivato e per l'elemento di volume $ \text{d}\tau $ in coordinate cartesiane è corretto ciò che hai scritto, non lo è quando si tratta di densità superficiale di carica $\sigma = (\text{d}q)/(\text{d}\Sigma) $: in tal caso si ha un integrale di superficie, $\text{d}\Sigma =||N(x,y)|| \text{d}x \text{d}y $, vedi ad esempio qui.