dissonance ha scritto:Supponiamo che \(x_0=0\) e che \(f(0)=0\), e anche \(\nabla f(0)=0\), per semplificare le formule. Allora
\[
f(x)=\frac12 x^t Hf(0)x + o(|x|^2).\]
Ora supponiamo che la matrice \(Hf(0)\) sia diagonale, cosa che, come abbiamo detto, possiamo sempre fare;
\[
Hf(0)=\begin{bmatrix} \lambda_1 & 0& \ldots & \ldots\\ 0& \lambda_2 & \ldots &\ldots \\ \ldots &\ldots& \ldots &\ldots\end{bmatrix}.\]
Quindi
\[
f(x)=\lambda_1 x_1^2 + \lambda_2 x_2^2 +\ldots +\lambda_n x_n^2 + o(|x|^2).\]
Trascurando l'errore, dovresti poter rispondere a tutti i dubbi usando questa formula
Continuo a non capire...
Userò la scrittura delle dispense per spiegare cosa non mi torna così magari puoi correggere dove sbaglio. Sviluppando il potenziale \(U(q)\) attorno al minimo ottengo, ignorando la costante e l'o-piccolo:
\[U(q)=\frac12 U_{ij}\eta_i\eta_j\]
Diagonalizzando:
\[U(q)=\frac12 U_{ii}\eta_i^2\]
Ora, l'impostazione porta alla condizione che sia:
\[\frac12 U_{ii}\eta_i^2<= \epsilon\]
Bene, suppongo dapprima che lo spostamento abbia componente solo lungo l'autovalore più piccolo, sia \(U_{22}\), e che sia il massimo consentito dalla disuguaglianza, direi che il modulo di tale vettore, che in componenti è \((0,\eta_2,0,...,0)\), siaproprio \(|\frac{2\epsilon}{U_{22}}|\). Se adesso considero un qualsiasi spostamento che sia in una direzione combinazione lineare della direzione dell'autovalore più piccolo con un altra, ad esempio la direzione associata a \(U_{11}\), non avrei un vettore che (assumendo che le sue componenti \((\eta_1,\eta_2,0,...,0)\) consentano il massimo valore consentito dalla diseguaglianza) ha modulo \(\sqrt{\eta_2^2+\frac{2\epsilon}{U_{11}}-\frac{U_{22}}{U_{11}}\eta_2^2}\) ? come faccio a dire che è minore del modulo dello spostamento solo lungo l'autovalore più piccolo?... ci sarà sicuramente un mio errore ma non riesco davvero a capire.