Mi scuso se inserisco una seconda domanda a poca distanza di tempo, nel caso non sia possibile farlo non lo ripeterò , tuttavia in questi giorni ho accumulato questi due dubbi e vorrei provare a chiarirli con voi del forum.
Il dubbio è come per il titolo del thread riguardo la dimostrazione dell'unicità del differenziale ed è articolata su due punti con sottodubbi (insomma non ho capito molto ):
1) La dimostrazione prevede di prendere due diversi differenziali (so che il differenziale della funzione è in generale una funzione di x_0 e dell'incremento h, cioè di due variabili).
Ora, presi due differenziali $alphah$ e $betah$ (qui il dubbio 1a, perché prende il differenziae solo funzione di h e non anche di x_0?)
Ma procediamo, fatto questo scrivo:
$f(x_0+h)-f(x_0)-alphah=o(|h|)$ (dubbio 1b, perché è o-piccolo delmodulo di h e non solo di h?)
$f(x_0+h)-f(x_0)-betah=o(|h|)$
Svolgendo la differenza ho
$(alpha-beta)h=o(|h|)$ (dubbio 1c, come fa a passare da $alpha h-betah$ a quanto scritto? Per linearitàdovrebbe essere $a(x+y)=a(x)+a(y)$ e non $a(x)+b(x)=(a+b)x$ la linearità lavora sugli argomeni non sulla somma difunzioni, non mi è molto chiaro)
Inoltre dice che: $(alpha-beta)h=o(|h|)$ conclude la dimostrazione dell'unicità del differenziale e apreil mio 1d-esimo dubbio: perché il fatto che sia o-piccolo mi garantisce che $alphah=betah$ (ossia che sono la stessa cosa e quindi unici?) A me sembra quell'uguaglianza dica che sono diversi ma che al limite a zero posso approssimarli allastessa cosa (ossia sia alpha che beta sono un o-piccolo della stessa funzione h,cioè vengono mandati a zero dalla funzione h per h tendente a zero )
2) la seconda cosa che mi chiedo è questa: ma se con il teorema del differenziale dimostro che una funzione è differenziabile, ossia ammette differenziale SE E SOLO SE è derivabile (ossia posso dimostrare che partendo dalla definizione di differenziale giungo alla definizione di derivata in quel punto e viceversa, non la scrivo poiché mi è chiara e non è qui il dubbio), data l'unicità della derivata non dovrei automaticamente anche dimostrare che il differenziale è unico?
Infatti la dimostrazione mostra che $alpha(h)$ coincide con $f'(x)*h$ e f'(x) è unico. Cosa serve quindi la dimostrazione 1?
Mi rendo conto siano 5 dubbi in una richiesta sola, ma spero davvero di capirli