Buonasera a tutti,
volevo verificare il valore RMS di un'onda triangolare a partire dal suo sviluppo in serie di Fourier.
Se ho un'onda triangolare di picco $ X_M $ il suo valore RMS è: $ X_M/sqrt(3) $ ;
lo sviluppo in serie di Fourier è: $ X_M*8/pi^2*sum_(k = 0 \ldots oo ) 1/(2k+1)^2 cos((2k+1)omega t) $
Applicando la definizione di valore RMS di un segnale allo sviluppo in serie di Fourier e svolgendo i calcoli; ad un certo punto mi ritrovo il seguente risultato: $ X_M*8/pi^2*sqrt(1/2*sum_(k = 0 \ldots oo ) 1/(2k+1)^4 ) $
Affinchè i due risultati siano uguali il risultato della serie dovrebbe essere: $ sum_(k = 0 \ldots oo ) 1/(2k+1)^4 =pi^4/96 $
Premesso che sono molto arrugginito con le serie, ho eseguito la serie numericamente e sembra convergere a quel valore, potreste confermarmelo.
In rete ho trovato anche alcuni risultati notevoli che potrebbero essere d'aiuto:
$ zeta (2)=pi ^2/6 $
$ sum_(k =1 \ldots oo ) 1/(2k+1)^2=pi^2/8 $
$ zeta (4)= pi^4/90 $
purtroppo non ho trovato la serie di cui necessitavo.
Grazie mille e Cordiali Saluti