Ciao, tra gli esercizi proposti del Prof. Canuto c'è la seguente richiesta: "Dire se esistono (ed eventualmente calcolare) i seguenti limiti:"
\[
\lim_{x\rightarrow +\infty}{x^3(1+\sin x)}
\]
C'è la soluzione a pag.6. Occorre prendere due successioni $x_n$ e $y_n$ che tendono allo stesso limite $+\infty$ ma che $f(x_n)$ e $f(y_n)$ tendano a due limiti diversi: il professore usa $x_n=2n\pi$ e $y_n=\frac{3}{2}\pi+2n\pi$ per cui $f(x_n)\rightarrow +\infty$ e $f(y_n)\rightarrow 0$. Perché la seconda funzione tende a 0? Sostituendo, ottengo il prodotto di successioni
\[
f(y_n)=(\frac{3}{2}\pi+2n\pi)^3[1+\sin(\frac{3}{2}\pi+2n\pi)]
\]
il secondo fattore è zero, ma il primo fattore tende a $+\infty$, quindi perché il prodotto tende a zero? Conosco il Teorema del prodotto di successione limitata per successione infinitesima che garantisce che il limite è zero, ma qui non posso applicarlo.