soluzione equazione differenziale

Messaggioda tauto » 26/05/2020, 15:18

Ciao a tutti, ho qualche problema con una equazione differenziale molto semplice.

La E.D.O. è questa:

$(dQ)/(dt)= epsilon/R + Q/(RC)$

$R$ e $C$ sono costanti appartenenti ai numeri reali e la funzione da trovare è ovviamente $Q(t)$.

Leggo che la soluzione è la seguente:

$Q(t) = epsilonC + Ae^(-t/(RC))$

$A$ è una costante, che, ponendo condizioni iniziali $Q(0)=0$ risulta essere $A=-epsilonC$.

Quello che non capisco è:

come fa $epsilonC$ a comparire nella espressione di $(dQ)/ (dt)$ ? Essendo una costante non dovrebbe sparire una volta che derivo?

Nota: questo E.D.O. viene fuori da alcune nozioni basi di Fisica 2, ovvero dallo studio di un circuito con una resistenza ed un condensatore
tauto
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Re: soluzione equazione differenziale

Messaggioda Mephlip » 26/05/2020, 15:52

Che succede se derivi $f_{\varepsilon,C) (x):=\varepsilon C x$ rispetto ad $x$?
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Re: soluzione equazione differenziale

Messaggioda pilloeffe » 26/05/2020, 16:13

Ciao tauto,

Scusa, ma mi sembra molto semplice: si tratta della carica di un condensatore inizialmente scarico ($Q(0) = 0$) in un circuito $RC$
Dopo qualche semplice passaggio dovresti riuscire ad ottenere il risultato seguente:

$Q(t) = Q_{\infty} (1 - e^{-t/\tau}) $

ove $ Q_{\infty} := \epsilon C $ e la costante di tempo $\tau := RC $
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Re: soluzione equazione differenziale

Messaggioda tauto » 27/05/2020, 15:38

Mephlip ha scritto:Che succede se derivi $f_{\varepsilon,C) (x):=\varepsilon C x$ rispetto ad $x$?


però non vedo nessuna variabile indipendente a moltiplicare $epsilonC$ nella definizione della soluzione $Q(t)$.

Se ci fosse scritto

$Q(t)= epsilonC*t +...$

allora mi spiegherei perché compare $epsilonC$ nella derivata!
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Re: soluzione equazione differenziale

Messaggioda tauto » 27/05/2020, 15:40

pilloeffe ha scritto:Ciao tauto,

Scusa, ma mi sembra molto semplice: si tratta della carica di un condensatore inizialmente scarico ($Q(0) = 0$) in un circuito $RC$
Dopo qualche semplice passaggio dovresti riuscire ad ottenere il risultato seguente:

$Q(t) = Q_{\infty} (1 - e^{-t/\tau}) $

ove $ Q_{\infty} := \epsilon C $ e la costante di tempo $\tau := RC $


Nella definizione di $Q(t)$ non ci dovrebbe essere scritto:


$Q(t) = Q_{\infty} (t - e^{-t/\tau}) $

?
Se non fosse così, non capisco perché, derivando, $epsilonC$ rimane!
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Re: soluzione equazione differenziale

Messaggioda Mephlip » 27/05/2020, 16:27

A me la soluzione sembra sbagliata. Se $Q(t)=\varepsilon C+A \exp\left(-\frac{t}{RC}\right)$ fosse soluzione verificherebbe l'equazione differenziale, tuttavia l'uguaglianza
$$\frac{\text{d}}{\text{d}t} \left(\varepsilon C+A \exp\left(-\frac{t}{RC}\right)\right)=\frac{\varepsilon}{R}+\frac{1}{RC} \left(\varepsilon C+A \exp\left(-\frac{t}{RC}\right)\right)\Leftrightarrow$$
$$\Leftrightarrow -\frac{A}{RC} \exp\left(-\frac{t}{RC}\right)=\frac{\varepsilon}{R}+\frac{\varepsilon}{R}+\frac{A}{RC} \exp \left(\frac{-t}{RC}\right)$$
È falsa.
La soluzione corretta è $Q(t)=-\varepsilon C +A\exp\left(\frac{t}{RC}\right)$, infatti:
$$\frac{\text{d}}{\text{d}t} \left(-\varepsilon C +A \exp\left(\frac{t}{RC}\right)\right)=\frac{\varepsilon}{R}+\frac{1}{RC} \left(-\varepsilon C +A \exp\left(\frac{t}{RC}\right)\right)\Leftrightarrow$$
$$\Leftrightarrow \frac{A}{RC} \exp \left(\frac{t}{RC}\right)=\frac{\varepsilon}{R}-\frac{\varepsilon}{R}+\frac{A}{RC} \exp \left(\frac{t}{RC}\right)\Leftrightarrow 0=0$$
In sostanza hai fatto (o ha fatto il tuo testo/la fonte da cui hai preso la soluzione) degli errori di segno nella soluzione (sono invertiti il segno dell'esponente dell'esponenziale con il segno della costante $\varepsilon C$); oppure c'è un errore di trascrizione qui sul forum. Sicuro che l'equazione differenziale
tauto ha scritto:La E.D.O. è questa:

$(dQ)/(dt)= epsilon/R + Q/(RC)$

$R$ e $C$ sono costanti appartenenti ai numeri reali e la funzione da trovare è ovviamente $Q(t)$.

Sia questa?

Per quanto riguarda l'altro dubbio: ammetto di aver letto frettolosamente e quindi scusami per l'altra risposta, avevo completamente filtrato che avevi scritto la soluzione.
La costante compare perché è il coefficiente di un esponenziale che, nel momento in cui si applicano le condizioni iniziali, ha esponente $0$.
Ecco perché compare anche senza termini lineari in $t$ nella soluzione dell'equazione differenziale.
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Re: soluzione equazione differenziale

Messaggioda pilloeffe » 27/05/2020, 22:12

In realtà è corretta la soluzione, ma è sbagliata l'equazione differenziale... :wink:
Infatti indicando con $V_C(t) $ la differenza di potenziale fra le armature del condensatore $C$ all’istante $t$, applicando la legge di Kirchhoff delle maglie al circuito $RC$ si ha:

$\epsilon - V_C(t) = Ri(t) $

Tenendo conto che $V_C(t) = (Q(t))/C $ e $i(t) = \frac{\text{d}Q}{\text{d}t} $ si ottiene l'equazione differenziale seguente:

$ \frac{\text{d}Q}{\text{d}t} = \epsilon/R - (Q(t))/(RC) $

Si tratta di un’equazione differenziale a variabili separabili. Separando quindi le variabili $Q$ e $t$ si ha:

$ \frac{\text{d}Q}{Q - \epsilon C} = - \frac{\text{d}t}{RC} $

Integrando ambo i membri fra l’istante $t = 0 $ di chiusura dell’interruttore (quando $t = 0 $ si ha $Q(0) = 0 $) ed il generico istante $t$ si ha:

$\int_{Q(0) = 0}^{Q(t)} \frac{\text{d}q}{q - \epsilon C} = - \int_0^t \frac{\text{d}\theta}{RC} $

$[ln|q - \epsilon C|]_0^{Q(t)} = - [\frac{\theta}{RC}]_0^t $

$ ln[\frac{Q(t) - \epsilon C}{-\epsilon C}] = - \frac{t}{RC} $

ove il modulo è stato omesso in quanto sicuramente $ Q(t) - \epsilon C < 0 $ e quindi $\frac{Q(t) - \epsilon C}{-\epsilon C} > 0 $. Infatti $\epsilon C $ è il massimo valore che può assumere la carica $Q(t) $ sull’armatura positiva del condensatore, perché quando $ Q(t) = \epsilon C $ la differenza di potenziale $V_C(t) = (Q(t))/C $ ha raggiunto il valore $V_C(t) = \epsilon $, cioè è uguale alla forza elettromotrice della batteria, la quale non è quindi più in grado di far circolare alcuna carica essendoci nel circuito una differenza di potenziale uguale ed opposta che la contrasta. Passando dal logaritmo al suo argomento si ha:

$ \frac{Q(t) - \epsilon C}{-\epsilon C} = e^{- \frac{t}{RC}} $

Dopo qualche semplice passaggio si ottiene proprio quanto ti ho già scritto nel mio post precedente:

$ Q(t) = Q_{\infty} (1 - e^{-t/\tau}) $

ove $ Q_{\infty} := \epsilon C $ e la costante di tempo $\tau := RC $
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Re: soluzione equazione differenziale

Messaggioda tauto » 27/05/2020, 22:56

Mephlip ha scritto:La costante compare perché è il coefficiente di un esponenziale che, nel momento in cui si applicano le condizioni iniziali, ha esponente $0$.
Ecco perché compare anche senza termini lineari in $t$ nella soluzione dell'equazione differenziale.


Il mio dubbio sta tutto nella frase che ho appena quotato... purtroppo continuo a non capire...
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Re: soluzione equazione differenziale

Messaggioda Mephlip » 28/05/2020, 00:26

Abbiamo fatto un po' di confusione, cerco di riassumere quotando e in caso correggimi se sbaglio nel cercare di capire quello a cui stavi pensando.
Prima tu dici questo
tauto ha scritto:Quello che non capisco è:

come fa $epsilonC$ a comparire nella espressione di $(dQ)/ (dt)$ ? Essendo una costante non dovrebbe sparire una volta che derivo?

Ossia ti chiedi come mai $\varepsilon C$ compaia nell'espressione della derivata (ossia al membro di destra dell'equazione differenziale), ma questo non è vero: compare nell'espressione della soluzione, come dici giustamente qua
tauto ha scritto:però non vedo nessuna variabile indipendente a moltiplicare $epsilonC$ nella definizione della soluzione $Q(t)$.

Credo che i fraintendimenti vengano dal fatto che non ti è perfettamente chiaro cosa sia un'equazione differenziale, partiamo dal risolvere (sperabilmente) il dubbio: a priori non c'è alcuna ragione per pensare che $\varepsilon C$ debba scomparire perché la soluzione dell'equazione differenziale viene derivata, perché le equazioni differenziali (detto molto brutalmente, se vuoi trovare una definizione rigorosa cerca meglio sul forum o su opportuni testi) sono problemi che mettono in relazione una funzione $Q$ con le sue derivate fino a un certo ordine (in questo caso primo ordine, c'è solo la derivata prima) e le funzioni $\phi$ che rendono vera quest'uguaglianza per ogni $t$ in un certo intervallo vengono dette soluzioni.

Nel tuo caso hai la seguente richiesta: "cerca una funzione $Q=Q(t)$ tale che la derivata di $Q$ rispetto a $t$ sia uguale alla costante $\frac{\varepsilon}{R}$ alla quale devi sottrarre la funzione $Q$ stessa divisa per $RC$" (ossia il termine $-\frac{Q}{RC}$, mi sto rifacendo alla soluzione di pilloeffe perché sembra che l'equazione differenziale scritta da te all'inizio contenesse un errore).
Tale funzione $Q$ è $Q(t)=\varepsilon C -\varepsilon C e^{-\frac{t}{RC}$: come vedi dall'equazione differenziale, mentre è vero che al membro di sinistra la soluzione è derivata e dunque eventuali costanti hanno derivata nulla, al membro di destra è richiesta la presenza di $-\frac{Q}{C}$ e $Q$ contiene la costante $\varepsilon C$ nella sua espressione (ciò lo vedi risolvendo l'equazione differenziale ed applicando le condizioni iniziali). Perciò, a causa della presenza di $Q$ al membro di sinistra, compare la costante $\varepsilon C$.

Forse ora è chiaro, scusami ancora se ci abbiamo messo un po' perché ho frainteso il tuo dubbio all'inizio; ti consiglio caldamente almeno di sapere bene cosa sia un'equazione differenziale, o è naturale avere questi dubbi.
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Re: soluzione equazione differenziale

Messaggioda tauto » 31/05/2020, 21:31

Mephlip ha scritto:"cerca una funzione $Q=Q(t)$ tale che la derivata di $Q$ rispetto a $t$ sia uguale alla costante $\frac{\varepsilon}{R}$ alla quale devi sottrarre la funzione $Q$ stessa divisa per $RC$" (ossia il termine $-\frac{Q}{RC}$, mi sto rifacendo alla soluzione di pilloeffe perché sembra che l'equazione differenziale scritta da te all'inizio contenesse un errore).


E perché la seguente funzione non andrebbe bene:

$Q(t) = (epsilon/R)t + e^{-t/\tau} $

?
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