Somma di funzioni a quadrato sommabile

[Pippo99911]

Questa dimostra che la somma di due funzioni a quadrato sommabile, è ancora una funzione a quadrato sommabile.

$ |f1(x)+f2(x)|^2=|f1(x)|^2+|f2(x)|^2+f1(x)bar(f2(x)) +f2(x)bar(f1(x))≤ 2(|f1(x)|^2+|f2(x)|^2) $

il passaggio che non capisco è quello finale:
$ ≤ 2(|f1(x)|^2+|f2(x)|^2) $

come si ricava questa maggiorazione?

[pilloeffe]

Ciao Pippo99911,

Ponendo per comodità $z := f_1(x) $ e $w := f_2(x) $, si ha:

$|z+w|^2=(z + w)\bar{(z + w)} = (z + w)(\bar{z} + \bar{w}) = |z|^2+|w|^2+ z\bar{w}+ w\bar{z} $

In buona sostanza si deve dimostrare che si ha:

$z\bar{w} + w\bar{z} <= |z|^2 + |w|^2 $

Se $w $ e $z $ sono reali (e quindi $w = \bar{w}$ e $z = \bar{z}$) la disuguaglianza da dimostrare si riduce alla seguente:

$2zw <= |z|^2 + |w|^2 $

Quest'ultima si ricava immediatamente da $(z - w)^2 >= 0 $
Cosa accade invece se $z$ e $w$ sono complessi?

[Pippo99911]

Quest'ultima si ricava immediatamente da $(z - w)^2 >= 0 $
Cosa accade invece se $z$ e $w$ sono complessi?


se w=a+jb e z= c+jd, $z\bar{w} + w\bar{z}$ questa parte risulta: 2(ac+bd), però ancora non capisco

[pilloeffe]

se $w=a+jb$ e $z= c+jd$, $z\bar{w} + w\bar{z}$ questa parte risulta: 2(ac+bd)

Si può fare anche così, magari dopo lo vediamo, ma in realtà la mia idea era diversa, cioè usare la relazione

$2 \text{Re}(u) = u + \bar{u} $

e la diseguaglianza $\text{Re}(u) <= |\text{Re}(u)| <= |u| <= |\text{Re}(u)| + |\text{Im}(u)| $ con $u := z\bar{w}$ sicché si ha:

$ u + \bar{u} = z\bar{w} + w\bar{z} = 2 \text{Re}(z\bar{w}) <= 2 |z\bar{w}| = 2|z||w| $

Quindi tenendo presente quanto ti ho scritto nel mio post precedente occorre dimostrare che si ha:

$ 2|z||w| <= |z|^2 + |w|^2 $

Quest'ultima è senz'altro vera perché si ricava subito da $(|z| - |w|)^2 >= 0 $
E' corretto anche come pensavi di fare tu, si ha proprio $ z\bar{w} + w\bar{z} = 2(ac + bd) $ ed occorre dimostrare che si ha:

$ 2(ac + bd) <= |z|^2 + |w|^2 = c^2 + d^2 + a^2 + b^2 $

Quest'ultima ovviamente è vera perché risistemando i termini si vede quasi subito che tratta di una somma di due quadrati, che è senz'altro positiva o al più nulla:

$(a - c)^2 + (b - d)^2 >= 0 $

P.S. Si risponde correttamente col pulsante RISPONDI, non col pulsante "CITA e, salvo casi rarissimi, non è necessario citare tutto il messaggio di chi ti ha risposto: ma se proprio lo devi fare almeno fallo correttamente...

[Pippo99911]

Chiarissimo, ho capito. Grazie mille .

Riguardo il "cita" si ho sbagliato, sono nuovo del sito e mi devo adattare, magari lo modifico

[pilloeffe]

Chiarissimo, ho capito. Grazie mille .

Prego!

Riguardo il "cita" si ho sbagliato, sono nuovo del sito e mi devo adattare

Certo, lo avevo capito, non era un rimprovero, ma proprio le indicazioni su come operare: fra l'altro si tratta di un errore piuttosto comune fra i neofiti del forum ed io stesso all'inizio ci sono cascato...