Relatività ristretta - problema di confronto tra sistemi di riferimento

[alessio6]

Buongiorno, vorrei chiedere aiuto per un problema di relatività ristretta.
So che nel sistema $S$ due eventi avvengono a distanza $l$ e separati da un intervallo di tempo t.
Nel sistema $S'$, la distanza è $l'$. Mi è richiesto l'intervallo di tempo nel sistema $S'$ e di indicare se esistano sistemi di riferimento inerziali in cui gli eventi avvengono contemporaneamente o sistemi in cui si trovano nella stessa posizione.

Per quanto riguarda la prima parte, ho pensato di risolvere calcolando $\gamma=\frac{l}{l'}$ e quindi poi $t'=\gamma t$. Corretto?

Non so come svolgere la seconda richiesta. Dovrei avere $t''=0$ o $l''=0$? Ma questo vorrebbe dire, in entrambi i casi, che $\gamma=0$ (anzi, nel secondo nemmeno, sarebbe solo un "tende a zero"), quindi che il sistema si muove alla velocità della luce... ma mi sembra strano. Su cosa devo ragionare?
Grazie

[Five]

È vero che la velocità tra sistemi di riferimento è un concetto relativo, ma giusto per fissare le idee, visto che non lo dici, quale dei sistemi dati è considerato in quiete, e quindi l’altro è in moto? Non che abbia molta importanza...
Inoltre, viene dato un valore di velocità ? Se non è dato, bisogna fare dei ragionamenti sulla separazione spazio-temporale dei due eventi , cioè sul 4-intervallo tra essi, che è un invariante relativistico.

Sarebbe opportuno che riportassi il testo esatto del problema posto.

[alessio6]

Grazie mille per la risposta. Ecco il testo del problema, ma non penso di aver tralasciato dai importanti, non mi parla né di velocità, né di quale dei due sistemi di riferimento sia quello considerato in quiete.

"In un sistema di riferimento inerziale $S$ sono rilevati due eventi che sono separati da distanza $l=20cm$ e da un intervallo di tempo di $1,5ns$. In un altro sistema di riferimento inerziale $S'$ gli stessi eventi sono separati da una distanza $l'=14cm$. Determina da che intervallo di tempo sono separati gli eventi nel sistema di riferimento $S'$. Esistono sistemi di riferimento inerziali in cui il i due eventi avvengono nella stessa posizione? Esistono sistemi di riferimento inerziali in cui i due eventi avvengono contemporaneamente?"

Riguardo le velocità, l'unico ragionamento che avevo fatto era che, attraverso la $\gamma$, potrei trovare la velocità di $S'$ rispetto a $S$ (è corretto?), ma poi non sapevo cosa farmene. Avevo completamente tralasciato il quadrintervallo sinceramente, grazie per il suggerimento.
In quest'ottica potrei impostare il problema così: $c^2t^2-l^2=c^2t'^2-l'^2$ e da qui ricavare $t'$.
Per la seconda domanda ho pensato di fare $c^2t^2-l^2=t''^2$. Se non esiste una soluzione $t''$ allora la risposta alla domanda è no, altrimenti è sì e $t''$ è l'intervallo di tempo tra i due eventi nel sistema di riferimento in cui avvengono contemporaneamente. C'è poi qualcosa di più che posso trovare per spiegare meglio come è questo sistema di riferimento o secondo te basta così?
Per la terza domanda sarebbe un procedimento simile alla seconda, con $c^2t^2-l^2=l'''^2$ e ragionamenti simili.

Questa è un po' l'idea che mi sono fatto. Non ho fatto i conti perchè non ho a portata di mano la calcolatrice, ma quelli sono l'ultimo dei problemi.
Torna come ragionamento o ho preso una cantonata? Nel caso potresti suggerirmi che strada seguire? E, ultima cosa, il primo procedimento che ho proposto per trovare $t'$ è comunque valido?

Grazie infinite

[alessio6]

Mi sono permesso nella risposta di dare del tu, mi scuso, mi è venuto spontaneo visto l'ambiente "digitale"

[Five]

Il “tu" va benissimo tra gli utenti del forum.

Visto che $c = (30cm)/(ns) $ , nel riferimento S hai che il 4-intervallo (al quadrato) vale {segnatura (+,-) risp. per tempo e spazio} :

$(Deltas)^2 = (ct)^ 2 -l^2 = (30*1.5 cm)^2 - (20cm)^2 = (45^2 - 20^2 ) cm^2 >0 $ [neanche io ho la calcolatrice ora, ma chi se ne frega! ]

il 4-intervallo quindi è reale cioè di tipo tempo : ok . Ciò significa che tra i due eventi ci potrebbe anche essere una relazione di causa-effetto, cioè il primo evento potrebbe essere causa del secondo: ma non è essenziale, non ci interessa ora la natura dei due eventi, importa aver capito che il loro 4-intervallo è di tipo tempo.

Lo stesso valore del 4-intervallo quindi deve valere anche nel riferimento $S’$ , perciò il tuo ragionamento per ricavare $t’$ , visto che hai $l’$ , è corretto : procedi pure !

Riguardo le velocità, l'unico ragionamento che avevo fatto era che, attraverso la $ \gamma $, potrei trovare la velocità di $ S' $ rispetto a $ S $ (è corretto?), ma poi non sapevo cosa farmene.
Avevo completamente tralasciato il quadrintervallo sinceramente, grazie per il suggerimento.

Si, in effetti non serve calcolare la velocita di S’ rispetto a S , visto che hai ragionato sul 4-intervallo.

Per la seconda domanda ho pensato di fare $ c^2t^2-l^2=t''^2 $. Se non esiste una soluzione $ t'' $ allora la risposta alla domanda è no, altrimenti è sì e $ t'' $ è l'intervallo di tempo tra i due eventi nel sistema di riferimento in cui avvengono contemporaneamente. C'è poi qualcosa di più che posso trovare per spiegare meglio come è questo sistema di riferimento o secondo te basta così?

Ho evidenziato in rosso una parte della frase, perché il procedimento è giusto (nella stessa ottica prima vista dell’invarianza di $ds^2$ ) ma questi sono gli eventi che , nel riferimento $S”$ , avvengono nello stesso punto dello spazio, separati solo dall’intervallo di tempo t”. Attento, al secondo membro devi scrivere $(ct'')^2 $ , non dimenticare $c$!
La risposta quindi è affermativa, S” esiste; già sai quanto vale il 4-intervallo, che è tutto temporale. I due eventi avvengono per $S”$ nello stesso punto dello spazio, separati dal tempo t” . Potresti disegnare un diagramma di Minkowski della situazione: i due eventi , per $S”$ , stanno entrambi sull’asse temporale $t”$, giusto? E potresti trovare la velocità relativa.

Per la terza domanda sarebbe un procedimento simile alla seconda, con $ c^2t^2-l^2=l'''^2 $ e ragionamenti simili.

In questo riferimento $S^(‘’’)$ con tre apici , i due eventi sarebbero “contemporanei” , nel senso che giacciono su una retta di contemporaneità di un osservatore inerziale $S '’’ $ . Ma fai attenzione, al secondo membro ci dovrebbe essere un segno “$-$ ....L’intervallo diventerebbe di tipo spazio per $S^(‘’')$ ....può essere ? La natura di un 4-intervallo rimane sempre dello stesso tipo, cioè o sempre temporale o sempre spaziale, per OI che viaggiano a velocità relative ovviamente inferiori a $c$. E poi, dalla soluzione analitica troveresti che un quadrato è negativo. Quindi?

[alessio6]

Ok, non avevo fatto il ragionamento iniziale se fosse di tipo spazio o di tipo tempo (anche perchè, a essere sincero, non mi è ben chiaro che differenza ci sia tra i due dal punto di vista fisico).
L'errore nella seconda parte mi è chiaro, mi sono confuso tra spazio e tempo però sì, avvengono nello stesso punto separati da $t''$.
Nel terzo caso giusto, ci va il meno, il ragionamento che farei sarebbe "l'equazione non ha soluzione $l'''$, quindi è impossibile che siano contemporanei", ancora una volta non sarei passato per "tipo spazio o tipo tempo".

Purtroppo non conosco il diagramma di Minkowski che mi hai suggerito di fare, il profe non ce l'ha spiegato... sono andato a cercarmelo in internet, ma sinceramente non ho molto capito come funziona.

Ti rompo ancora le scatole con una domanda: la prima risoluzione che avevo dato all'inzio, trovando il $\gamma$ sarebbe comunque valida (pur non riuscendo magari a risolvere il resto del problema)?

Grazie infinite per la disponibilità

[Five]

Si, se trovi il $\gamma$ trovi la velocità, ma devi poi comunque applicare le TL per trovare il t’, dato l’.
Appena ho tempo ti faccio vedere Minkowski; se usi la funzione “cerca “ e digiti “diagramma di Minkowski “ trovi molti esercizi.

[Five]

Il diagramma di Minkowski è una sorta di diagramma cartesiano, in cui sull’asse delle ascisse è riportato lo spazio, dato tramite una sola coordinata $x$ , e sull’asse delle ordinate è riportato il tempo $t$ , o meglio $ct$ , che è omogeneo a una lunghezza come $x$. SE metti $c=1$ , puoi scrivere semplicemente $t$ sull’asse dei tempi. Ecco sotto spoiler come si presenta il diagramma di M. per un OI che si considera “in quiete” : asse $ct \equiv t $ verticale , asse $x$ orizzontale. Gli assi con apice $ct’, x’$ sono relativi a un oss. in. $O’$ in moto rispetto ad $O$ , con velocità data da : $v/c \equiv v = arctg alpha$ , e l’asse dei tempi $ct’\equiv t’$ inclinato verso destra di $alpha$ rispetto all’asse $t$ .

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

la geodetica della luce, qui non rappresentata, è data dall’ equazione: $(ct)^2 - x^2 =0 rarr t = +-x$ , quindi sul diagramma avremo due rette, che sono le due bisettrici dei 4 quadranti. LA geometria di questo piano non è euclidea, è iperbolica : come vedi, la rotazione dell’asse $x’$ rispetto all’asse $x$ , della stessa entità $alpha$ , non è oraria come quella di $t’$ rispetto a $t$ , ma antioraria. I due assi $(t’, x’)$ ruotano aprendosi e chiudendosi “a forbice” rispetto agli assi $(x,t)$ , e questa è una rotazione iperbolica. Il bello è che la bisettrice , cioè la linea luce, rimane sempre la stessa, perché $c$ è uguale in tutti i riferimenti inerziali.

Dati due eventi A e B , aventi certe coordinate rispetto a $O$ , le coordinate rispetto a $O’$ si trovano tramite le trasformazioni di Lorentz , ma ora non è questo di cui voglio occuparmi. Ho fatto questo disegnino mettendo degli eventi (A,B) , (C,D) ed (M,S) :

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Supponendo che la metrica abbia segnatura (+,-)¹ , come ti ho già detto, il 4-intervallo AB ha norma :

$Deltat^2 - Deltax^2 >0 $

ed è di tipo “tempo”; quindi può esistere un oss. in. O’ in moto rispetto ad O , la cui linea di universo ( cioe l’asse dei tempi t’, non rappresentato ) passi prima per A e poi per B; i due eventi per O’ avvengono nello stesso punto dello spazio, separati dall’intervallo di tempo $Delta t’ = t’_B - t’_A $ , perciò, visto che il 4-intervallo è invariante :

$Deltat^2 - Deltax^2 = Deltat’^2 $

e questo è un risultato del tuo esercizio. LA velocità di $O’$ rispetto ad $O$ è inferiore a $c$, come deve essere. Invece gli eventi C e D sono connessi da un 4-intervallo per il quale :

$Deltat^2 - Deltax^2 <0 $

e non c’è nessun o.i. la cui linea di universo passi per C e poi per D, perché dovrebbe avere una velocità maggiore di $c$ . Questo è un 4-intervallo di tipo “spazio". Questi due eventi quindi non possono avvenire nello stesso punto dello spazio , sulla linea di universo di un o.i. Ma potrebbero essere invece “contemporanei” per un o.i. , che viaggiasse con una velocità data, in forma adimensionale, dalla $tg^-1$ dell’angolo che il 4-vettore CD forma con l’asse $x$ di $O$. Sotto al primo schizzo, ho messo una coppia di assi $t”, x”$ , con l’asse spaziale $x”$ parallelo a CD : questo è il riferimento inerziale dell’ o.i. che ha $t” $ come asse temporale, rispetto al quale i due eventi C e D sono contemporanei.

Per esemplificare ancora, considera i due eventi :

M : un asteroide colpisce Marte
S : un asteroide colpisce Saturno

che rispetto a te , che sei $O(t,x)$ , avvengono contemporaneamente, cioè si trovano su una retta parallela al tuo asse $x$ . Tu non li vedi se non dopo che la luce proveniente da M e da S ti ha raggiunto, ma “essere contemporanei” in RR non vuol dire “vedere” , è un altro discorso.

Anche per M ed S , non c’è alcun o.i. la cui linea di universo possa passare prima per M e poi per S : dovrebbe avere velocità = $arctg \pi/2 = \infty$. Però, come ripeto, i due eventi sono contemporanei per te, perché giacciono su una parallela al tuo asse $x$ ; la tua linea di universo è data, è l’asse $t$ segnato in figura.

Se due eventi fossero sulla linea luce, il loro 4-intervallo sarebbe sempre nullo.

Una cosa importante da capire è questa : dati due eventi, separati da un certo tipo di intervallo in un riferimento inerziale , il tipo di intervallo rimane lo stesso per tutti gli o.i. che si muovono con velocità diverse, ovviamente inferiori a $c$ , rispetto al rif. inerziale dato. Questo si dimostra, ma non voglio riempirti la testa di troppa roba.

Spero che quanto detto ti sia utile.

L' articolo seguente è un po’ arduo da capire per i neofiti, magari è preferibile leggerlo in un secondo momento:
https://arxiv.org/pdf/physics/0703002.pdf

Qui trovi un esercizio, illustrato tramite il diagramma di Minkowski oltre che con le trasformazioni di Lorentz :

https://www.matematicamente.it/forum/vi ... i#p8371588

come vedi l’uso del diagramma di M. chiarisce certe questioni. Ciao.

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Note

1. ti è chiaro il concetto di metrica di uno spazio? Agli inizi dello studio della RR non è essenziale. Comunque, diciamo che, in questo contesto, è sufficiente sapere che si assume :
   
   $ds^2 = dt^2-dx^2-dy^2-dz^2 $
   
   quindi la segnatura è : $ (+,-,-,-)$ , dove il segno positivo è dato al termine temporale, mentre i tre termini spaziali assumono segno negativo. Togliendo le due dimensioni $y$ e $z$ : $ds^2 = dt^2-dx^2$. Ci sarebbero da fare tante precisazioni al riguardo, introdurre la geometria differenziale e l’idea di metrica, e spiegare perché la metrica di Minkowski dello spazio piatto è data da (+1,-1,-1,-1) ...ma sorvolo, inizialmente sono solo complicazioni. Tieni però presente che molti libri assumono la segnatura opposta ↑

[alessio6]

Grazie mille, sei stato gentilissimo davvero, sono riuscito a capire decisamente meglio (anche se, devo essere sincero, non tutto).

Ora ho un problema del tutto simile, quindi ero abbastanza sicuro di procedere allo stesso modo, ma c'è una cosa che non mi torna: nel sistema di riferimento $S_1$ due eventi sono separati da una distanza di 41cm e da un intervallo di 1,62ns. Nel sistema di riferimento $S_2$ gli stessi eventi sono separati da distanza 17,5cm. Da che intervallo di tempo sono separati i due eventi in $S_2$?

Io ero partito convintissimo calcolandomi $S=c^2t^2-l^2=(3\cdot10^8)^2\cdot(1,62\cdot10^{-9})^2-0,41^2=0,068096$.
Poi $c^2t'^2-l'^2=0,068096$, $t'^2=\frac{0,068096+l'^2}{c^2}=\frac{0.098721}{(3\cdot10^8)^2}=1,0969\cdot10^{-18}$. Da qui ho $t'=1,04733\cdot10^{-9}$.
Ora, il ragionamento non capisco come possa essere diverso da quello fatto per l'altro problema, ma non mi torna che sia lo spazio che il tempo diano diminuiti: una contrazione di spazio non va sempre insieme a una dilatazione di tempo?
In più, facendolo con l'altro procedimento che avevo proposto, cioè $t'=frac{l}{l'}t$ mi esce $t'=3,79543\cdot10^{-9}s$ (che tra l'altro mi convince di più perchè aumenta rispetto all'inizio).
Mi sapresti dire dove sbaglio? Spero non nei conti, li ho rifatti più volte e mi escono sempre così.

[Five]

Grazie mille, sei stato gentilissimo davvero, sono riuscito a capire decisamente meglio (anche se, devo essere sincero, non tutto).

Di questo non devi preoccuparti. Sapessi quanto tempo ci ho messo io, a capire quel po’ che mi consente di fornire qualche risposta qui !

Ora ho un problema del tutto simile, quindi ero abbastanza sicuro di procedere allo stesso modo, ma c'è una cosa che non mi torna: nel sistema di riferimento $ S_1 $ due eventi sono separati da una distanza di 41cm e da un intervallo di 1,62ns. Nel sistema di riferimento $ S_2 $ gli stessi eventi sono separati da distanza 17,5cm. Da che intervallo di tempo sono separati i due eventi in $ S_2 $?

Io ero partito convintissimo..... Da qui ho $ t'=1,04733\cdot10^{-9} $.
Ora, il ragionamento non capisco come possa essere diverso da quello fatto per l'altro problema, ma non mi torna che sia lo spazio che il tempo diano diminuiti: una contrazione di spazio non va sempre insieme a una dilatazione di tempo?

Il valore da te calcolato è giusto, l’ho trovato anch’io.
Quando prendi in esame l’invarianza dell’intervallo tra eventi, osservati da due OI in moto relativo, non sei nel caso in cui un dato OI misura la lunghezza di un oggetto rilevando contemporaneamente i due estremi . I due eventi dell’esercizio, osservati dai due OI in moto relativo, in linea di principio non hanno niente a che fare con il moto relativo dei due, se non per il fatto che il 4-intervallo per uno di essi è lo stesso per l’altro.
Del resto , ponendo $c=1$ e quindi $v\equiv v/c $ adimensionale , l’uguaglianza :

$Deltas^2= t_2^2 - l_2^2 = t_1^2 - l_1^2 $

ti dice subito, da un punto di vista algebrico, che se $l_2<l_1$ , per conservare l’uguaglianza deve essere anche $t_2<t_1 $.
Nella proporzionalità inversa che scrivi:

$ l_2t_2=l_1t_1$

prova a sostituire al primo membro le trasformate di L. delle due coordinate, e fai il prodotto: viene fuori un papocchio.

Più interessante è, invece, verificare l’invarianza dell’intervallo dalle trasformazioni di Lorentz tra i due OI; cioè, visto che :

$t_2 = gamma (t_1-vl_1)$
$l_2 = gamma ( l_1 - vt_1)$

verificare che : $t_2^2 - l_2^2= gamma^2 [ (t_1-vl_1) ^2 - ( l_1 - vt_1)^2] = ....= t_1^2-l_1^2 $

Sono quattro passaggi algebrici, controlla.

Ho trovato questo nel forum, dove puoi trovare qualche ulteriore chiarimento sulla contrazione:

https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 57#p813457
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 76#p827576
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 46#p836146

la figura nel terzo link non c’è più purtroppo, ma sarebbe anche facile ricostruirla.

Dacci un’occhiata.