Limite con esponenziali e logartimi

[fr_car]

Salve ragazzi,

sto cercando di svolgere questo limite, ma non riesco ad ottenere la soluzione corretta.

$ lim xrarr+oo (\sqrt(x(2^x)+4^(x))-e^(x\ln2))/(e^((1)/(x))+x(\ln2)-\ln x) $

Dato che è una forma indeterminata come primo passaggio ho razionalizzato il numeratore.

Per le proprietà della funzione esponenziale, se non commetto errori qui, $ e^(x\ln2)=2^x $.

Successivamente raccolgo al denominatore gli infinitesimi di ordine maggiore ma a quanto pare sbagliando.

Qualcuno riesce ad aiutarmi?

Infinite grazie

[Mephlip]

Ciao! Che tecniche conosci? Puoi usare gli sviluppi in serie di Taylor o almeno il limite notevole della radice?
Comunque questo che dici è corretto:

Per le proprietà della funzione esponenziale, se non commetto errori qui, $ e^(x\ln2)=2^x $.

Attenzione invece quando dici:

Successivamente raccolgo al denominatore gli infinitesimi di ordine maggiore ma a quanto pare sbagliando.

Devi raccogliere gli infiniti di ordine maggiore, non gli infinitesimi, perché il limite è della forma indeterminata $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$ e dunque stai confrontando infiniti al numeratore e al denominatore.
Inoltre, ora che mi sono fatto due calcoli, in effetti la razionalizzazione del numeratore basta ed avanza per calcolare questo limite e non è neanche laboriosa con i conti, quindi la tua idea era buona.
Quindi forse ci sono solo degli errori di calcolo, magari scrivili così li controlliamo insieme!

[fr_car]

Ciao! Che tecniche conosci? Puoi usare gli sviluppi in serie di Taylor o almeno il limite notevole della radice?
Comunque questo che dici è corretto:

Per le proprietà della funzione esponenziale, se non commetto errori qui, $ e^(x\ln2)=2^x $.

Attenzione invece quando dici:

Successivamente raccolgo al denominatore gli infinitesimi di ordine maggiore ma a quanto pare sbagliando.

Devi raccogliere gli infiniti di ordine maggiore, non gli infinitesimi, perché il limite è della forma indeterminata $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$ e dunque stai confrontando infiniti al numeratore e al denominatore.
Inoltre, ora che mi sono fatto due calcoli, in effetti la razionalizzazione del numeratore basta ed avanza per calcolare questo limite e non è neanche laboriosa con i conti, quindi la tua idea era buona.
Quindi forse ci sono solo degli errori di calcolo, magari scrivili così li controlliamo insieme!

Si scusami, volevo dire infiniti, con la prova che avevo fatto sostituendo x=1/t ero in ottica infinitesimi.

$ lim xrarr+oo \(sqrt((x(2^x)+4^(x)))-e^(x\ln 2))/(e^((1)/(x))+x(\ln 2)-\ln x)*\(sqrt(x(2^x)+4^(x))+e^(x\ln 2))/(\sqrt(x(2^x)+4^(x))+e^(x\ln 2))= $

$ lim xrarr+oo (x(2^x)+2^(2x)-(e^(x\ln 2))^2)/((e^(1/x)+xln(2)-lnx)*(sqrt(x(2^x)+4^(x))+e^(x\ln 2)))= $

$ lim xrarr+oo (x*2^x)/(e^(1/x)(1+ln2^x/e^(1/x)-lnx/e^(1/x))*2^(x)(sqrt(1+x/2
^x) + 1)) $

Fino a qui direi che ci siamo giusto?

[pilloeffe]

Ciao fr_car,

Benvenuto sul forum!

$ \lim xrarr+oo (x*2^x)/(e^(1/x)(1-ln2^x/e^(1/x)+lnx/e^(1/x))*2^(x)(sqrt(1+n/2 ^n) + 1)) $

Fino a qui direi che ci siamo giusto?

Direi di no...
Innanzitutto $x$ è improvvisamente diventata $n$, ma questo è un peccato veniale; poi ci sono due errori di segno (un $+$ che è diventato un $- $ ed un $-$ che è diventato un $+$) e l'ultima cosa che hai fatto che proprio non può aiutarti a risolvere il limite proposto è raccogliere $e^{1/x} $, dato che $\lim_{x \to +\infty} e^{1/x} = 1$
Ti correggo il passaggio e poi vediamo se riesci ad andare avanti:

$ \lim_{x \to +\infty} (x \cdot 2^x)/((e^{1/x} + ln2^x - lnx) 2^x (sqrt(1+x/2 ^x) + 1)) = \lim_{x \to +\infty} (x)/((e^(1/x) + x ln2 - lnx)(sqrt(1+x/2 ^x) + 1)) $

[fr_car]

Si purtroppo è stata approvata la prima risposta che avevo mandato di cui mi ero accorto degli errori. Mi sono reso conto successivamente che raccogliere e^(1/x) era sbagliato ma bisognava raccogliere ln2^x e andare avanti. Si riduce tutto a 1/ln2 *2 = 1/ln4

[fr_car]

Grazie mille a tutti per l'aiuto!