da dissonance » 16/06/2020, 13:35
Credo che, tendenzialmente, si somma sugli indici alti e bassi nei contesti non-euclidei, mentre in geometria euclidea questa distinzione non è importante.
In generale in geometria si usa alzare ed abbassare gli indici usando la metrica; ad esempio, il tensore \(T_{ij}\) si ottiene dal tensore \(T^i{}_j\) come segue:
\[
T_{ij}=\sum_h T^h{}_j g_{hi}.\]
Succede quindi che ci può essere ambiguità in una scrittura come \(T_{ij}\omega_i\); può significare
\[\tag{*}
\sum_i T_{ij}\omega_i\quad \text{oppure}\quad \sum_i\sum_h T^h{}_j g_{hi}\omega_i.\]
Ora, in geometria euclidea lo spazio ambiente è \(\mathbb R^n\), con la metrica \(g_{ij}=\delta_{ij}\), la matrice identica. Di conseguenza entrambe le scritture nell'equazione (*) coincidono. Ecco perché nei contesti euclidei uno può permettersi di scrivere \(T_{ij}\omega_i\) senza preoccuparsi di dare ulteriori spiegazioni.
