Studiare la commutatività.

Messaggioda Pasquale 90 » 05/06/2020, 17:13

Buonasera,

Sia una legge associativa $cdot$ in $S$.
Se ogni $x in S\ :\ x cdot x cdot x=x$ e $x cdotx in Z(S)$, dove $Z(S)$ centro di $S.$
L'esercizio chiede $cdot$ è commutativa ?

Procedo cosi:
$qquad cdot$ è commutativa se e solo $Z(S)=S$
$Z(S)$ è una parte non vuota di $S$, poiché $x cdotx in Z(S) ne emptyset$, quindi $Z(S) subseteq S$ è provata.
Sia $x in S$, chiedersi se $x$ è centrale equivale a chiedersi se $x$ è pemutabile con ogni elemento di $S$, ossia
$xcdoty=ycdotx$ per ogni $y in S$

considerando le ipotesi, risulta:
$xcdoty=(xcdotxcdotx)cdot(ycdotycdoty)=(xcdot(xcdotx))cdot((ycdoty)cdoty))=xcdot((xcdotx)cdot(ycdoty))cdoty=xcdot((ycdoty)cdot(xcdotx))cdoty=(xcdot(ycdoty))cdot((xcdotx)cdoty)=(xcdot(ycdoty))cdot(ycdot(xcdotx))=((ycdoty)cdotx)cdot((xcdotx)cdoty)=(ycdotycdot(xcdot(xcdotx))cdoty)=(ycdotycdoty)cdot(xcdotxcdotx)=ycdotx$
Pasquale 90
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Re: Studiare la commutatività.

Messaggioda hydro » 06/06/2020, 11:24

Come giustifichi la penultima uguaglianza?
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Re: Studiare la commutatività.

Messaggioda Pasquale 90 » 06/06/2020, 14:07

Dal fatto che $xcdotx in Z(S)$, inoltre, $x$ è permutabile con se stesso, ossia $xcdotx=xcdotx\,\ forall x in S.$
Poiché $Z(S)$ è stabile, presi $x, (xcdotx) in Z(S)$ si ottiene $(xcdot(xcdotx)) in Z(S).$
$(xcdot(xcdotx)) in Z(S)$ equivale a dire che $(xcdot(xcdotx))$ è permutabile con ogni elemento di $S$, in particolare con $y in S$.
Quindi ottengo la penultima uguaglianza.
Non sono sicuro ovviamente.
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Re: Studiare la commutatività.

Messaggioda hydro » 06/06/2020, 15:45

Pasquale 90 ha scritto:Poiché $Z(S)$ è stabile, presi $x, (xcdotx) in Z(S)$ si ottiene $(xcdot(xcdotx)) in Z(S).$


Questo è sicuramente vero, ma se assumi che $x\in Z(S)$ l'esercizio diventa una trivialità.

Quello che puoi invece usare è che

$y^2\cdot x \cdot x^2\cdot y=y^2\cdot x \cdot y\cdot x^2=y\cdot (yx)^2\cdot x=(yx)^3=yx$.
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Re: Studiare la commutatività.

Messaggioda Pasquale 90 » 06/06/2020, 16:17

Non vorrei dire sciocchezze, ma si dovrebbero prima definire le potenze, perché $y^2$ non so cosa potrebbe significare, inoltre cosa vuoi dire con
hydro ha scritto:ma se assumi che $ x\in Z(S) $ l'esercizio diventa una trivialità.

Se ho interpretato in modo corretto il tuo messaggio, tutti quei passaggi l'ho fatti per far vedere in particolare l'associatività.

Ciao :-)
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Re: Studiare la commutatività.

Messaggioda hydro » 06/06/2020, 17:47

$x^n$ è semplicemente $x\cdot\ldots \cdot x$ $n$ volte, le parentesi non servono perchè l'operazione è associativa.

Io ti ho chiesto come giustifichi quel passaggio, e tu mi hai detto:

Pasquale 90 ha scritto:Poiché $ Z(S) $ è stabile, presi $ x, (xcdotx) in Z(S) $ si ottiene $ (xcdot(xcdotx)) in Z(S)$.


Questo è vero, ma chi ti dice che $x\in Z(S)$ nel tuo esercizio? Provare che $x\in Z(S)$ per ogni $x$ è la tesi, non la puoi usare come parte della dimostrazione altrimenti il ragionamento è circolare.

Inoltre, nota come la tua affermazione di sopra, per quanto vera non contiene nessuna informazione da punto di vista logico: siccome in $S$ si ha per ipotesi che $x^3=x$, quello che dici tu è equivalente a: "Poiché $ Z(S) $ è stabile, presi $ x, (xcdotx) in Z(S) $ si ottiene $ x in Z(S)$".
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Re: Studiare la commutatività.

Messaggioda arnett » 06/06/2020, 20:58

Pasquale 90 ha scritto:$Z(S)$ è una parte non vuota di $S$, poiché $x cdotx in Z(S) ne emptyset$, quindi $Z(S) subseteq S$ è provata.


E quindi? Se $Z(S)$ fosse stato vuoto non potevi dedurre che $Z(S)\subset S$? E inoltre chi è $x$? Le ipotesi, scritte male, dicono che per ogni $x \in S$, risulta che $x^2$ sta in $Z(S)$. Ma chi dice che in $S$ ci sia qualcosa? A voler essere pignoli $S$ potrebbe pure essere lui stesso il vuoto. Fai le cose troppo meccanicamente, è ovvio che il centro di una struttura sta nella struttura, non c'è nulla da provare.
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Re: Studiare la commutatività.

Messaggioda Pasquale 90 » 06/06/2020, 21:47

arnett ha scritto: A voler essere pignoli $S$ potrebbe pure essere lui stesso il vuoto

Ehh va beh che senso avrebbe parlare di qualcosa che non esiste :D

Io non voglio fare il precisino... semplicemente non mi risulta chiara la terzultima uguaglianza fatta da hydro :-)
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Re: Studiare la commutatività.

Messaggioda arnett » 06/06/2020, 22:07

Pasquale 90 ha scritto:
arnett ha scritto: A voler essere pignoli $S$ potrebbe pure essere lui stesso il vuoto

Ehh va beh che senso avrebbe parlare di qualcosa che non esiste :D


Svariati matematici sono morti dopo questa affermazione. :roll:
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Re: Studiare la commutatività.

Messaggioda hydro » 06/06/2020, 22:13

arnett ha scritto:
Pasquale 90 ha scritto:
arnett ha scritto: A voler essere pignoli $S$ potrebbe pure essere lui stesso il vuoto

Ehh va beh che senso avrebbe parlare di qualcosa che non esiste :D


Svariati matematici sono morti dopo questa affermazione. :roll:


:-D :-D

Pasquale 90 ha scritto:Io non voglio fare il precisino... semplicemente non mi risulta chiara la terzultima uguaglianza fatta da hydro :-)


$y^2\cdot x \cdot y\cdot x^2=y\cdot(y\cdot x)\cdot(y\cdot x)\cdot x=y\cdot (yx)^2\cdot x $

meglio ora?
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