Applicazione della definizione di limite.

[Pasquale 90]

Buonasera, qualche tempo fa postai un topic simile a questo che sto per pubblicare, ma purtroppo non afferrato bene il concetto, quindi ripropongo.

Sia $lim_(x to 1)(1-5^(-1/x))=4/5$.
$"dom"f={x in RR:x ne 0}$
Sia $epsilon>0, $ considero
$|(1-5^(-1/x))-4/5|=|5^(-1/x)-5^(-1)|<epsilon$ per le proprietà del modulo risulta $-epsilon+5^(-1)<5^(-1/x)<5^(-1)+epsilon.$ Considero $5^(-1)>epsilon>0,$ quindi $log_5(-epsilon+5^(-1))<-1/x<log_5(epsilon+5^(-1))$ ossia
\(\displaystyle \begin{cases} log_5(-\epsilon+5^{-1})<-\tfrac{1}{x} \\ -\tfrac{1}{x}<log_5(\epsilon+5^{-1}) \end{cases} \leftrightarrow \begin{cases} -log_5(-\epsilon+5^{-1})>\tfrac{1}{x} \\ \tfrac{1}{x}>-log_5(\epsilon+5^{-1}) \end{cases} \leftrightarrow \begin{cases} -\tfrac{1}{log_5(-\epsilon+5^{-1})}<x \\ x<-\tfrac{1}{log_5(\epsilon+5^{-1})} \end{cases}\)
quindi,devo verificare che

\(\displaystyle I_{1}=-\tfrac{1}{log_5(-\epsilon+5^{-1})}<x<-\tfrac{1}{log_5(\epsilon+5^{-1})} \)

è un intorno di $1$, cioè
$a. \ 0<(-1)/(log_5(-\epsilon+5^{-1}))<1, $
$b. \ 1<(-1)/(log_5(\epsilon+5^{-1})). $

Verifico la $a.$
$0<(-1)/(log_5(-\epsilon+5^{-1})) leftrightarrow log_5(-\epsilon+5^{-1})<0 leftrightarrow -\epsilon+5^{-1}<1 leftrightarrow -4/5=1/5-1<epsilon$ è sempre verificata.
Invece, $(-1)/(log_5(-\epsilon+5^{-1}))<1$ osservo che né $log_5(-\epsilon+5^{-1})+1>0$ e né $log_5(-\epsilon+5^{-1})>0$, quindi $(-1)/(log_5(-\epsilon+5^{-1}))<1 $ è sempre verificata
In finale la $a.$ risulta verificata.

Verifica la $b.$
$1<(-1)/(log_5(\epsilon+5^{-1})) leftrightarrow 1+1/(log_5(\epsilon+5^{-1}))<0 leftrightarrow (log_5(\epsilon+5^{-1})+1)/(log_5(\epsilon+5^{-1}))<0$

$(log_5(\epsilon+5^{-1})+1)<0 leftrightarrow log_5(\epsilon+5^{-1})<-1 leftrightarrow \epsilon+5^{-1}<5^(-1)$ non è mai verificata,
$log_5(\epsilon+5^{-1})<0 leftrightarrow epsilon+5^(-1)<1 leftrightarrow epsilon<1-1/5=4/5$ è sempre verificata.
Ricordando il "falso sistema" si ha che la $b.$ è verificata.

In sintesi $I_1$ è un intorno completo di $1$.

Adesso, come si procede nel caso in cui $epsilon ge 5^(-1)$, inoltre, qualora l'esercizio fosse finito per riscrivere $I_1$ nella forma $(1-delta_(epsilon),1+delta_(epsilon))$, basta che prendo il $delta_(epsilon)=min{|-1/(log_5(-\epsilon+5^{-1}))|,|-1/(log_5(\epsilon+5^{-1}))|}$

Ciao

[gugo82]

Beh, se $epsilon >= 1/5$ basta considerare che esiste $delta=delta_(1/10) >0$ tale che $0<|x-1|<delta => |f(x) - 4/5|<1/10<epsilon$.

[Pasquale 90]

Non ho capito scusami.
Cioè, la def di limite dice che $forall epsilon >0, exists delta(epsilon)>0\:\ |f(x)-l|<epsilon\,\ x in X cap (x_0-delta(epsilon),x_0+delta(epsilon)).$
Quindi, per $0<epsilon<5^(-1)$ fatto, invece per $epsilon ge 5^(-1)$, non posso applicare la stessa strategia vista per l'altro caso.

Quindi perché hai scelto $1/10$ ?

[gugo82]

Perché $1/10<1/5$ e la "strategia" già vista funziona, fornendo un $delta_(1/10)$ che serve a soddisfare la definizione di limite anche per $epsilon$ "più grandi".¹

Poi, perché proprio $1/10$?
Non so, forse mi piaceva il fatto che è la metà di $1/5 = 5^(-1)$...
Ma avrei potuto scegliere $1/100$, o $sqrt(7)/139$ ovvero $pi^(-e)$, il ragionamento avrebbe funzionato lo stesso. Perché?


P.S.: Quando non servono, i calcoli in Matematica sono peggio di quelli ai reni.
Quindi, lasciali perdere.

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Note

1. S'intende, maggiori di $5^(-1)$. ↑

[Pasquale 90]

Buongiorno gugo82,

Forse ho capito...sono un po ripetitivo ma se non lo faccio mi sembra una cosa cosi, campata all'aria, scrivo la definizione di limite.

Sia $f(x)$ definita in $X$, $x_0$ punto di accumulazione per $X$.
Si dice che

$lim_(x to x_0)f(x)=l leftrightarrow forall epsilon>0 exists delta=delta(epsilon)\:\ forall x in Xcap(x_0-delta,x_0+delta) to |f(x)-l|<epsilon$

sostanzialmente il nostro pensiero è quello di determinare $delta(epsilon)$, poiché più piccolo si prenderà $epsilon$ è più piccolo dovrà essere $delta(epsilon)$, quindi quest'ultimo "fissato: per $epsilon$ piccoli" andrà bene anche per $epsilon$ presi in "futuro" che siano più grandi del nostro famigerato $5^(-1)$.

Questo è ?

Intendevo che la strategia vista con $0<epsilon<5^(-1)$ non va bene poiché occorre usare il $log.$

[gugo82]

Sì, questo è.

Però qui:

Sia $ f(x) $ definita in $ X $, $ x_0 $ punto di accumulazione per $ X $.
Si dice che

$ lim_(x to x_0)f(x)=l leftrightarrow forall epsilon>0 exists delta=delta(epsilon)\:\ forall x in Xcap(x_0-delta,x_0+delta) to |f(x)-l|$

[…]

devi escludere $x_0$ da $X nn]x_0-delta, x_0+delta[$, mentre questo:

[…] più piccolo si prenderà $ epsilon $ è più piccolo dovrà essere $ delta(epsilon) $

non è generalmente vero; ad esempio, prendi il caso di una funzione costante: in corrispondenza di ogni $epsilon >0$ qualsiasi $delta >0$ va bene per soddisfare la definizione di limite, anche un $delta$ “enorme”.

[Pasquale 90]

Si, vero per entrambi i punti, grazie per l'aiuto gugo82, mi hai chiarito i dubbi che avevo.