Sia $lim_(x to 1)(1-5^(-1/x))=4/5$.
$"dom"f={x in RR:x ne 0}$
Sia $epsilon>0, $ considero
$|(1-5^(-1/x))-4/5|=|5^(-1/x)-5^(-1)|<epsilon$ per le proprietà del modulo risulta $-epsilon+5^(-1)<5^(-1/x)<5^(-1)+epsilon.$ Considero $5^(-1)>epsilon>0,$ quindi $log_5(-epsilon+5^(-1))<-1/x<log_5(epsilon+5^(-1))$ ossia
\(\displaystyle \begin{cases} log_5(-\epsilon+5^{-1})<-\tfrac{1}{x} \\ -\tfrac{1}{x}<log_5(\epsilon+5^{-1}) \end{cases} \leftrightarrow \begin{cases} -log_5(-\epsilon+5^{-1})>\tfrac{1}{x} \\ \tfrac{1}{x}>-log_5(\epsilon+5^{-1}) \end{cases} \leftrightarrow \begin{cases} -\tfrac{1}{log_5(-\epsilon+5^{-1})}<x \\ x<-\tfrac{1}{log_5(\epsilon+5^{-1})} \end{cases}\)
quindi,devo verificare che
\(\displaystyle I_{1}=-\tfrac{1}{log_5(-\epsilon+5^{-1})}<x<-\tfrac{1}{log_5(\epsilon+5^{-1})} \)
è un intorno di $1$, cioè$a. \ 0<(-1)/(log_5(-\epsilon+5^{-1}))<1, $
$b. \ 1<(-1)/(log_5(\epsilon+5^{-1})). $
Verifico la $a.$
$0<(-1)/(log_5(-\epsilon+5^{-1})) leftrightarrow log_5(-\epsilon+5^{-1})<0 leftrightarrow -\epsilon+5^{-1}<1 leftrightarrow -4/5=1/5-1<epsilon$ è sempre verificata.
Invece, $(-1)/(log_5(-\epsilon+5^{-1}))<1$ osservo che né $log_5(-\epsilon+5^{-1})+1>0$ e né $log_5(-\epsilon+5^{-1})>0$, quindi $(-1)/(log_5(-\epsilon+5^{-1}))<1 $ è sempre verificata
In finale la $a.$ risulta verificata.
Verifica la $b.$
$1<(-1)/(log_5(\epsilon+5^{-1})) leftrightarrow 1+1/(log_5(\epsilon+5^{-1}))<0 leftrightarrow (log_5(\epsilon+5^{-1})+1)/(log_5(\epsilon+5^{-1}))<0$
$(log_5(\epsilon+5^{-1})+1)<0 leftrightarrow log_5(\epsilon+5^{-1})<-1 leftrightarrow \epsilon+5^{-1}<5^(-1)$ non è mai verificata,
$log_5(\epsilon+5^{-1})<0 leftrightarrow epsilon+5^(-1)<1 leftrightarrow epsilon<1-1/5=4/5$ è sempre verificata.
Ricordando il "falso sistema" si ha che la $b.$ è verificata.
In sintesi $I_1$ è un intorno completo di $1$.
Adesso, come si procede nel caso in cui $epsilon ge 5^(-1)$, inoltre, qualora l'esercizio fosse finito per riscrivere $I_1$ nella forma $(1-delta_(epsilon),1+delta_(epsilon))$, basta che prendo il $delta_(epsilon)=min{|-1/(log_5(-\epsilon+5^{-1}))|,|-1/(log_5(\epsilon+5^{-1}))|}$
Ciao