coordinate polari integrale doppio

[Aletzunny]

$int_E sqrt(x^2+y^2) dxdy$

dove $E={x^2+y^2-2x<=0; x^2+y^2-2y<=0}$

ho disegnato il grafico delle due circonferenze e ho pensato di passere alle coordinate polari perchè, considerando il determinante del jacobiano, avrei solo
$int int (rho)^2 dxdy$

tuttavia sto trovando difficoltà nel passaggio da $E$ a $F={rho-2cos(theta)<=0; rho-2sin(theta)<=0}$

infatti non riesco a capire adesso come trovare fra quali valori devono variare $rho$ e $theta$;
ho pensato di risolvere $cos(theta)<=sin(theta)$ ma non sono per nulla sicuro del procedimento: otterrei $pi/4<=theta<=5/4pi$ e $0<=rho<=2cos(theta)$

insomma, vorrei capire a partire da $F$ come diavolo devo trovare i valori corretti di $rho$ e $theta$ perchè non riesco proprio ad entrare nel ragionamento.
Grazie

[l'abatefarina]

il punto di intersezione delle due circonferenze ,oltre l'origine , è $(1,1)$
per $0<=theta<=pi/4$ , il segmentino che parte dall'origine e forma l'angolo $theta$ con il semiasse positivo delle x arriva a toccare la seconda circonferenza che hai scritto
per $pi/4<=theta<=pi/2$ ..........................................la prima che hai scritto
vedi se riesci a partire da questo

[Aletzunny]

allora il disegno di $E$ sono riuscito a farlo, mentre quello di $F$ no! non ho proprio capito come impostarlo!
di solito però a lezione usavamo $E$ reso in coordinate polari per trovare $rho$ e $theta$...
qui non è possibile farlo?

[l'abatefarina]

ma non c'è un $F$ ,il disegno quello è: è la parte di piano del primo quadrante racchiuso tra le due circonferenze relative alle disequazioni che hai scritto in$E$
e su questo disegno che ho fatto le mie considerazioni

$0<=theta<=pi/4$ $ 0<=rho <=2sentheta $
$pi/4<=theta<=pi/2$ $0<=rho<=2costheta$

[Aletzunny]

il mio $F$ sarebbe l'insieme $E$ trasformato in coordinate polari come ho scritto sopra! ora però non capisco come ottenere $theta$ e $rho$ sapendo solo che $rho - 2cos(theta)<=0; rho-2sin(theta)<=0}$

[l'abatefarina]

ho aggiunto delle cose mentre scrivevi

[Aletzunny]

onestamente non ho capito come hai ottenuto quei valori e come ci sei arrivato partendo solo da $E$ reso in coordinate polari

[l'abatefarina]

dal famoso segmentino di cui ho parlato
può darsi che te l'abbiano spiegato in un altro modo, quindi lascio ad altri la discussione

[Aletzunny]

potresti comunque provare a spiegarmi questo metodo?
grazie

[Mephlip]

Hai due limitazioni dall'alto su $\rho$, ossia $\rho \leq 2\cos \theta$ e $\rho \leq 2 \sin \theta$; per descrivere analiticamente la situazione che ha già spiegato geometricamente l'abatefarina nella sua prima risposta, devi discutere
$$\rho=\min_{\theta \in \left[0,\frac{\pi}{2}\right]} \{2 \sin \theta, 2 \cos \theta\}$$
E usare l'additività dell'integrale rispetto all'insieme di integrazione per spezzare l'integrale nella somma di due integrali.