Salve a tutti! Dopo la maturità, mi sto concentrando sul concorso bandito dall'INdAM per le borse di studio dedicate alle nuove matricole delle facoltà italiane di Matematica. Per esercitarmi, sto risolvendo le prove degli anni passati e due giorni fa mi sono imbattuto in un problemone di geometria riguardo particolari costruzioni su triangoli. Riporto la traccia per intero:
"Un triangolo acutangolo $ABC$, i cui angoli di vertici $A$,$B$,$C$ hanno ampiezze indicate rispettivamente con $\alpha$,$\beta$,$\gamma$ è inscritto nella circonferenza $\delta$.
(a) Le bisettrici uscenti da $A$,$B$,$C$ si incontrano nell'incentro $I$ del triangolo $ABC$ ed intersecano ulteriormente la circonferenza $\delta$ nei punti \(A'\),\(B'\),\(C'\). Esprimere le ampiezze \(\alpha'\),\(\beta'\),\(\gamma'\) degli angoli del triangolo $A'B'C'$ in funzione di $\alpha$,$\beta$,$\gamma$. Dimostrare che $I$ è l'ortocentro del triangolo \(A'B'C'\).
(b) Le altezze uscenti da $A$,$B$,$C$ si incontrano nell'ortocentro $H$ del triangolo $ABC$ ed intersecano ulteriormente la circonferenza $\delta$ nei punti \(A''\),\(B''\),\(C''\). Esprimere le ampiezze \(\alpha''\),\(\beta''\),\(\gamma''\) degli angoli del triangolo \(A''B''C''\) in funzione di $\alpha$,$\beta$,$\gamma$. Dimostrare che $H$ è l'incentro del triangolo \(A''B''C''\).
(c) Dimostrare che, ripetendo più volte la costruzione \(ABC\rightsquigarrow A'B'C'\) (applicandola via via ai nuovi triangoli ottenuti), si otterranno sempre dei triangoli acutangoli.
(d) Dimostrare che, ripetendo più volte la costruzione \(ABC\rightsquigarrow A''B''C''\) (applicandola via via ai nuovi triangoli ottenuti), si otterranno sempre dei triangoli acutangoli se e solo se il triangolo iniziale $ABC$ è equilatero."
Personalmente, non saprei dove mettere le mani, in particolar modo ai punti (a) e (b) perché, vedendo un po' gli altri problemi di queste prove, generalmente gli ultimi punti seguono facilmente dai primi con qualche semplice osservazione: credo che il tutto stia nell'ottenere l'espressione degli angoli dei nuovi triangoli che si generano dalle due costruzioni descritte ma soltanto questo mi sembra già particolarmente complicato... Potresti darmi una mano?