Sia $C$ la curva affine di equazione $f(x,y):=(y-x)^3-x^4=0$
a) determinare se C è irriducibile o meno
b) Trovare gli eventuali punti singolari di C, le loro molteplicità e determinare le tangenti principali corrispondenti.
c) Trovare gli eventuali asintoti di C.
Motivare le risposte.
svolgimento
per la riducibilità ho pensato di considerare il polinomio su $(K[x])[y]$ e passare al campo dei quozienti di $D=K[x]$.
Se fosse riducibile allora, essendo di 3° grado in $y$ deve avere una radice in $D$ ovvero
$(p(x)-x)^3-x^4=0 => 3deg(p(x)-x)=4$
il che è assurdo poiché $3$ non divide $4$
b) per i punti singolari considero il sistema ${(-3(y-x)^2-4x^3=0),(3(y-x)^2=0):}$
così si trova il solo punto $P=(0,0)$
il polinomio omogeneo di grado minore è proprio $(y-x)^3$ il quale mi dice che si ha una molteplicità di intersezione pari a $3$ con la sola retta $y=x$
c) per gli asintoti passo alla chiusura $F(X_0:X_1:X_2)=X_0(X_2-X_1)^3-X_1^4$
i punti impropri, ponendo $X_0=0$ sono dati da $X_1=0$, pertanto avremo un unico punto improprio $Q=[0:0:1]$. Vedo se è un punto singolare o meno
${(F_(X_0)=(X_2-X_1)^3),(F_(X_1)=-3X_0X_1(X_2-X_1)^2-4X_1^3),(F_(X_2)=3X_0X_2(X_2-X_1)^2):}$
in $[0:0:1]$ sopravvive solo $F_(X_1)=1$ e quindi si tratta di un punto semplice la cui retta tangente sarà $X_0=0$
Questa retta non è la chiusura proiettiva(in $X_0$) di alcuna retta affine, quindi concludo che non ci sono asintoti.
