Polinomio Taylor funzione implicita

[AndretopC0707]

Non capisco perché risulta $(2+e)/ (2-e) x^2$

[AndretopC0707]

Basandoti su quello che è il risultato riportato sul file, ti sembra corretto il polinomio di Taylor lì scritto?

[gugo82]

Se $g(x)$ è implicitamente definita da $F(x,y)=0$ intorno a $(0,-1)$ allora:
\[
\begin{split}
\frac{\text{d}}{\text{d} x} F(x,g(x)) = 0\qquad &\Leftrightarrow \qquad F_x(x,g(x)) + F_y(x,g(x))\ g^\prime (x) = 0\\
&\Rightarrow \qquad g^\prime (x) = - \frac{F_x(x,g(x))}{F_y(x,g(x))}
\end{split}
\]
da cui in particolare segue:
\[
\begin{split}
g^\prime (0) &= - \frac{F_x(0,g(0))}{F_y(0,g(0))} \\
&= - \frac{F_x(0,-1)}{F_y(0,-1)} \\
&= - \frac{\left. e^{x-y} + 2x - e\right|_{x=0,y=-1}}{\left. -e^{x-y} - 2y\right|_{x=0,y=-1}}\\
&= 0\; .
\end{split}
\]
Ancora, da \(g^\prime (x) = - \frac{F_x(x,g(x))}{F_y(x,g(x))}\) segue:
\[
\begin{split}
g^{\prime \prime} (x) &= - \frac{\text{d}}{\text{d} x} \left[ \frac{F_x(x,g(x))}{F_y(x,g(x))}\right] \\
&= - \frac{F_{xx} (x,g(x)) + F_{xy} (x,g(x))\ g^\prime (x)}{F_y(x,g(x))} + \frac{F_x(x,g(x))}{F_y^2 (x,g(x))}\ \Big( F_{yx}(x,g(x)) + F_{yy}(x,g(x))\ g^\prime (x)\Big) \\
&= - \frac{F_{xx} (x,g(x)) + F_{xy} (x,g(x))\ g^\prime (x)}{F_y(x,g(x))} - \frac{g^\prime (x)}{F_y (x,g(x))}\ \Big( F_{yx}(x,g(x)) + F_{yy}(x,g(x))\ g^\prime (x)\Big) \\
&= - \frac{F_{xx} (x,g(x))}{F_y(x,g(x))} - g^\prime(x)\ \frac{F_{xy} (x,g(x)) + F_{yx}(x,g(x)) + F_{yy}(x,g(x))\ g^\prime (x)}{F_y (x,g(x))}
\end{split}
\]
da cui:
\[
\begin{split}
g^{\prime \prime}(0) &= - \frac{F_{xx} (0,g(0))}{F_y(0,g(0))} - g^\prime(0)\ \frac{F_{xy} (0,g(0)) + F_{yx}(0,g(0)) + F_{yy}(0,g(0))\ g^\prime (0)}{F_y (0,g(0))} \\
&= - \frac{F_{xx} (0,-1)}{F_y(0,-1)}
\end{split}
\]
quindi:
\[
g^{\prime \prime}(0) = - \frac{\left. e^{x-y} + 2\right|_{x=0,y=-1}}{\left. -e^{x-y} - 2y\right|_{x=0,y=-1}} = \frac{e+2}{e-2}\; .
\]

Quindi il polinomio di Taylor del secondo ordine di $g$ centrato in $0$ è:
\[
T_2(g;0) = -1 + \frac{e+2}{2(e - 2)}\ x^2\; .
\]

[AndretopC0707]

Grazie mille