Equazione matriciale

[Miller_96]

Salve sono nuovo del forum! Scusatemi se vieto qualche regola, avrei un problema semplice che non riesco a risolvere, ed è il seguente: Siano P,A,Q matrici invertibili 4x4. Dire perchè \( \displaystyle PAQ^{-1} \) è invertibile e scrivere un'espressione per la sua inversa.

Io ho ragionato così: P è invertibile (anche A e Q) Dalle proprietà delle matrici invertibili so che se
\( \displaystyle P*P^{-1}=I_{n} \) \( \displaystyle A*A^{-1}=I_{n} \) e \( \displaystyle Q*Q^{-1}=I_{n} \) quindi \( \displaystyle (P*A*Q)*(P^{-1}*A^{-1}*Q^{-1}=I_{n}) \) , da qui non capisco come trovare un'espressione per l'inversa e perchè anche \( \displaystyle PAQ^{-1} \) è invertibile

Grazie!

[Bokonon]

Sono tre matrici quadrate invertibili pertanto:
$det(PAQ^(-1))=det(P)det(A)det(Q^(-1))!=0$ pertanto anche $PAQ^(-1)$ è invertibile
L'inversa è $[PAQ^(-1)]^(-1)=QA^(-1)P^(-1)$

[Miller_96]

Grazie mille chiarissimo!